Тогда в окрестности точки ее можно представить в виде , где - бесконечно малая величина, то есть

Доказательство этой теоремы проведем по индукции.

1. Рассмотрим случай . В этом случае условие теоремы принимает вид

Так как

,

то, учитывая написанное условие, получим

,

что означает, что есть бесконечно малая величина. Но тогда , что и утверждается в условии теоремы для .

2. Пусть теперь теорема верна для некоторого . Докажем, что она верна для .

Итак, пусть для функции выполнено условие

.

Рассмотрим функцию . Для нее будет выполнено условие

.

Так как мы предположили, что для теорема верна, то можно представить в виде

.

Вернемся к . Воспользуемся формулой Лагранжа

,

где . Но , , и поэтому

Поделим и умножим это выражение на

,

где

.

Но при и поэтому , то есть - бесконечно малая величина. Далее, так как , то и поэтому . Как известно, произведение б.м.в. на ограниченную величину есть также б.м.в.. Поэтому есть бесконечно малая величина, что и доказывает нашу теорему. <

Следствие. С учетом этой теоремы, формулу Тейлора можно записать в виде

,

где - б.м.в., или, в более употребительном виде,

.

Эта формула носит название формулы Тейлора (или ряда Тейлора) с остаточным членом в форме Пеано.

Если взять то мы получим

,

которая носит название ряда Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.