Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть имеется функция , от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной то есть называется второй производной и обозначается :

.

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

.

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.

Итак, производная n -го порядка определяется как производная от производной (n -1)-го порядка

.

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1. .

2. .

3. .

Первые две формулы очевидны. Докажем лишь третью формулу, носящую название формулы Лейбница. При ее доказательстве следует только иметь в виду, что, по определению, производной нулевого порядка считается сама функция, то есть .

Доказательство проведем по индукции. При имеем

,

то есть для формула Лейбница верна.

Прежде, чем делать шаг по индукции, докажем одно вспомогательное соотношение:

.

А теперь - шаг по индукции. Пусть формула Лейбница верна для некоторого п, то есть

.

Для краткости записи аргументы у функций опущены.

А теперь имеем:

,

то есть формула Лейбница верна и для . <

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, то есть

.

Выведем формулу для . Имеем

.

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, что , совпадающее с приращением аргумента , есть величина, совершенно не зависимая от , так как мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к играет роль константы:

.

Скобки у обычно не пишут

.

Отсюда

.

Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала

.

Имеем

так что

; .

В общем случае

.

Легко показывается по индукции, что

; .