Формулы Коши и Лагранжа

Теорема. Пусть функции и

а) определены и непрерывны на ;

б) и ;

В).

Тогда существует точка такая, что

.

Эта формула носит название формулы Коши.

Доказательство. Прежде всего отметим, что , иначе, по теореме Ролля, существовала бы точка , где , что противоречит ограничению «в».

Рассмотрим функцию

.

Она

а) определена и непрерывна на , так как и функции и непрерывны на ;

б)

.

в) .

Таким образом, для выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому такая, что

,

но тогда в этой точке

,

что и дает формулу Коши. <