Теоремы о функциях, имеющих производную

Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Если в этой точке существует производная, то она равна нулю:.

Доказательство

Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего значения.

По условию теоремы эта точка внутренняя, то есть , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.

Пусть мы подходим к слева. Тогда

(так как - наибольшее значение);

;

(так как мы подходим слева);

;

.

Делая предельный переход , получим

.

Пусть мы подходим к точке справа. Тогда

(так как - наибольшее значение);

;

(так как мы подходим слева);

;

.

Делая предельный переход , получим

.

Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . <

Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наиболь­шего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.