Теорема Ролля

Пусть функция

а) определена и непрерывна на ;

б) ;

в)

Тогда существует точка в которой .

Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:

1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , то есть существуют конечные и .

2. Если , то есть константа, то есть и поэтому . В качестве точки можно взять любую точку из .

3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка (см. рисунок). По теореме Ферма, в этой точке (их может быть и несколько) производная равна нулю. <

Внутри промежутка достигается sup	Внутри промежутка достигается inf

Внутри промежутка достигаются и sup и inf.