Алгебра производных

Выведем важнейшие формулы, касающиеся вычисления производных. В дальнейшем и - некоторые функции, у которых существуют и , а с - некоторая константа (число).

1. .

Доказательство.

.

2. .

Доказательство

Аналогично выводится формула для .

3. .

Доказательство

(В числителе дроби прибавим и вычтем комбинацию )

4. .

Доказательство

(прибавляем и вычитаем в числителе комбинацию )

5. .

В выражении подразумевается, что производная от функции берется так, как будто является единым целым (аргументом).

Доказательство

Пусть аргумент получил приращение . Тогда функция получила приращение так что . Поэтому

(делим и умножаем дробь на )

.

6.

Доказательство

Пусть так что . Если аргументу x дать приращение , то величина получит приращение . Поэтому

=

Однако в данной формуле есть одна неувязка. Слева стоит функция от , а справа получилась функция от . Чтобы устранить это несоответствие надо в правой части заменить на . Тогда получим окончательно

.

7.

Вывод этой формулы следует разбирать после прочтения следующего параграфа.

Доказательство

Обозначим . Тогда . Вычисляя производную от обеих частей этого равенства, получим

.

Отсюда

.

Вместо того чтобы запоминать эту формулу лучше запомнить правило: для того чтобы вычислить производную от , надо это выражение сначала прологарифмировать.

Все эти формулы сведены в следующую таблицу, которую следует запомнить (кроме последней формулы).

Таблица 1.

Функция	Производная

Таблица производных

Выведем теперь таблицу производных от элементарных функций

1.

Действительно, если , то

.

2.

Имеем

(вынесем вверху за скобки)

(Сделаем «замену переменных» . Тогда и)

,

где был использован замечательный предел.

Рекомендуется запомнить некоторые частные случаи этой формулы

а)

б)

3.

Имеем

,

где был использован замечательный предел

Особенно простой результат получается при

4.

сделаем «замену переменных» . Тогда и

Особенно простой результат получается при

5.

Имеем

.

где также был использован замечательный предел.

6. .

7. .

Так как , то

.

8. .

Вывод аналогичен

9.

В данном случае и , то есть . Поэтому

.

10.

Вывод аналогичен.

11. .

В данном случае и , то есть . Поэтому

.

12. .

Вывод аналогичен.

13.

Действительно

.

14. 15. .

Вывод аналогичен

Все эти формулы сведены в таблицу, которую следует заучить

Таблица 2