![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Выведем важнейшие формулы, касающиеся вычисления производных. В дальнейшем и
- некоторые функции, у которых существуют
и
, а с - некоторая константа (число).
1. .
Доказательство.
.
2. .
Доказательство
Аналогично выводится формула для .
3. .
Доказательство
(В числителе дроби прибавим и вычтем комбинацию )
4. .
Доказательство
(прибавляем и вычитаем в числителе комбинацию )
5. .
В выражении подразумевается, что производная от функции
берется так, как будто
является единым целым (аргументом).
Доказательство
Пусть аргумент получил приращение
. Тогда функция
получила приращение
так что
. Поэтому
(делим и умножаем дробь на )
.
6.
Доказательство
Пусть так что
. Если аргументу x дать приращение
, то величина
получит приращение
. Поэтому
=
Однако в данной формуле есть одна неувязка. Слева стоит функция от , а справа получилась функция от
. Чтобы устранить это несоответствие надо в правой части заменить
на
. Тогда получим окончательно
.
7.
Вывод этой формулы следует разбирать после прочтения следующего параграфа.
Доказательство
Обозначим . Тогда
. Вычисляя производную от обеих частей этого равенства, получим
.
Отсюда
.
Вместо того чтобы запоминать эту формулу лучше запомнить правило: для того чтобы вычислить производную от , надо это выражение сначала прологарифмировать.
Все эти формулы сведены в следующую таблицу, которую следует запомнить (кроме последней формулы).
Таблица 1.
Функция | Производная |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Таблица производных
Выведем теперь таблицу производных от элементарных функций
1.
Действительно, если , то
.
2.
Имеем
(вынесем вверху за скобки)
(Сделаем «замену переменных» . Тогда
и)
,
где был использован замечательный предел.
Рекомендуется запомнить некоторые частные случаи этой формулы
а)
б)
3.
Имеем
,
где был использован замечательный предел
Особенно простой результат получается при
4.
сделаем «замену переменных» . Тогда
и
Особенно простой результат получается при
5.
Имеем
.
где также был использован замечательный предел.
6. .
7. .
Так как , то
.
8. .
Вывод аналогичен
9.
В данном случае и
, то есть
. Поэтому
.
10.
Вывод аналогичен.
11. .
В данном случае и
, то есть
. Поэтому
.
12. .
Вывод аналогичен.
13.
Действительно
.
14. 15.
.
Вывод аналогичен
Все эти формулы сведены в таблицу, которую следует заучить
Таблица 2
функция | производная | функция | производная |
1. ![]() | ![]() | 7. ![]() | ![]() |
2. ![]() | ![]() | 8. ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | 9. ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | 10. ![]() | - ![]() |
3. ![]() | ![]() | 11. ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | 12. ![]() | ![]() |
4. ![]() | ![]() | 13. ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | 14. ![]() | ![]() |
5. ![]() | ![]() | 15. ![]() | ![]() |
6. ![]() | ![]() |
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 258 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!