Определение и геометрический смысл производной

Глава 4. Производная

Определение и геометрический смысл производной

Пусть функция непрерывна в точке .

Определение. Производной от функции в точке называется величина

.

Дадим некоторые расшифровки этого важнейшего понятия математического анализа.

а) Вспоминая определение предела, можно записать определение через кванторы .

б) Величина называется приращением аргумента, а величина приращением функции. Тогда

.

в) Обозначая , можно записать

.

Понятие производной впервые появилось в физике в связи с понятием скорости. Пусть некоторая материальная точка движется по оси так что есть координата точки в момент времени . Спустя время координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю, то есть

.

Таким образом, производная от координаты точки определяет ее мгновенную скорость. Поэтому и производную функции в некоторой точке можно трактовать как скорость изменения функции в этой точке.

Дадим еще геометрический смысл производной. В определение производной входят две операции: деление и предельный переход при . Что же это дает? Нанося на график точки с координатами (, ) и (, ) мы получим фигуру изображенную на рисунке. Проведем через эти точки линию, которая называется секущей. Тогда дробь есть не что иное как , где есть угол наклона секущей к оси OX.

Но в определении производной есть еще предельный переход при . Что же дает этот предельный переход?.

При точка M начинает двигаться к точке M₀. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M₀ и в пределе она превратиться в касательную к точке M₀. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что

,

где - угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX.