Скалярное произведение векторов и его основные свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

( = cos (3.14)

Из определения скалярного произведения векторов получим следующие алгебраические свойства:

Свойство 1. Скалярное произведение обладает свойством пиреместительности: ( )=( ) (3.15)

Свойство 2. Чтобы умножить сумму, нужно умножить каждое слагаемое и сложить полученные произведения, т.е (свойство распределительности: ( + ) (3.16)

Свойство 3. Скалярное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя:

() = .

Приведём ряд геометрических свойств скалярного произведения:

1. Если угол между векторами и острый, то скалярное произведение положительно, т.е ( >0.

2. Если угол между векторами и тупой, то скалярное произведение отрицательно, т.е ( <0.

3. Если векторы и перпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю, т.е ( =0.

4. Если скалярное произведение двух векторов и равно нулю, то векторы и взаимно перпендикулярны.

5. При скалярном умножении вектора самого на себя получается квадрат его модуля, т.е ( = (3.17)