Векторное произведение в координатной форме

Пусть даны векторы

На основании определения и свойств векторного произведения легко показать, что:

. (3.23)

.

На основании свойства и (6.1) можно установить, что:

или

= (3.24)

Получим разложение векторного произведения по базису Следовательно координаты векторного произведения определяются:

= (3.25)

Заметим, что в формуле (3.24) можно придать вид:

= (3.26)

Пример 1: Даны векторы и . Разложить вектор по базису .

Решение: Используем формулу (3.25) и получим:

или

Координаты векторного произведения

Пример 2: Даны три точки А(1;1;1), В(4;3;5). Найти площадь S треугольника АВС.

Решение: Определим координаты векторов и : . Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника АВС: . По формуле (3.26) найдем координаты. или

Тогда

6. Смешанное произведение трёх векторов

Пусть даны векторы и не лежащие на одной плоскости. Вектор векторно умножим на вектор и полученный результат скалярно умножим на вектор получим число Это число называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях. Если с заданием трёх векторов указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим, то говорят, что задана упорядоченная тройка векторов. В тексте будем записывать в порядке нумерации. Например, если пишем , то значит - первый вектор, - второй, - третий.

Свойства смешанного произведения

а) смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах . Знак произведения будет положительным, если векторы образуют правую тройку векторов, знак будет отрицательным, если тройка векторов - левая. Легко увидеть, что , поэтому смешанное произведение обозначают символом: .

б) Смешанное произведение векторов равно нулю в том и только в том случае, когда эти векторы компланарны.