 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Задание 4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .
|
|
Разложить функцию 
в ряд Тейлора в окрестности точки 
.
Решение: Преобразуем 
:
(*)
Разложим 
в ряд Маклорена, заменяя 
на 
в известном разложении 
. Получаем:
.
Подставляя полученное разложение в (*) и возвращаясь к переменной получаем:
,
;
– интервал сходимости.
Задание 5. Записать комплексные числа 
в алгебраической, тригонометрической и показательной формах записи. Найти: 1) 
; 2) 
Решение. а) 
– алгебраическая форма записи комплексного числа 
Находим модуль и аргумент комплексного числа . Здесь 
, 
Значит,
– тригонометрическая форма записи комплексного числа 
– показательная форма записи комплексного числа
б) 
– алгебраическая форма записи комплексного числа 
Находим модуль и аргумент комплексного числа . Здесь 
, 
Значит,
– тригонометрическая форма записи числа 
– показательная форма записи комплексного числа 
в) 
– алгебраическая форма записи комплексного числа 
Находим модуль и аргумент комплексного числа :
Здесь 
, 
Значит,
– тригонометрическая форма записи комплексного числа 
– показательная форма записи комплексного числа
Найдём:
1) 
, т.е. получили комплексное число с действительной частью 
и мнимой частью 
2) 
, т.е. получили в результате комплексное число с действительной частью 
и мнимой частью 
Задание 6. Найти все значения корней: 
.
Решение. Представим комплексное число 
в тригонометрической форме. Здесь 
Поэтому
.
Используя формулу
находим:
где 
Полагая 
получим:
Задание 7. Для заданной функции 
найти действительную и мнимую части, т.е. представить функцию в виде 
Решение. Учитывая, что 
, получаем:
т.е. 
Задание 8. Записать в алгебраической форме комплексное число 
Решение. Используя формулу 
имеем:
Задание 9. Даны функции комплексного переменного 
и 
. Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти 
Решение. а)Имеем:
, так что
Для функций 
и 
найдём частные производные:
Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:
и удовлетворяются только в одной точке 
Следовательно, функция дифференцируема только в точке 
и нигде не аналитична.
Таким образом,
б) Имеем: 
, так что
Для функций и найдём частные производные:
Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:
и выполняются во всех точках. Значит, функция всюду аналитическая. Тогда
Итак, 
Задание 10. Восстановить аналитическую функцию по известной мнимой части 
и дополнительному условию 
Решение. Имеем: 
По первому из условий Коши-Римана должно быть 
так что 
Отсюда 
где функция 
пока неизвестна.
Дифференцируя по 
и используя второе из условий Коши-Римана, получим:
а так как 
то 
отсюда 
где 
Итак, 
и, следовательно,
Таким образом, 
Постоянную 
найдём из условия 
т.е. 
, отсюда 
Итак, 
Варианты заданий контрольной работы № 8
Таблица 1. Варианты задания 1
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б) 
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б) ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г) 
| ||
а)  ; б) ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г) 
| ||
а) ; б)  ;
в) ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
| а)  ; б)  ;
в)  ; г) 
| ||
а)  ; б)  ;
в)  ; г) 
| а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
|
Таблица 2. Варианты задания 2
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
|
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблица 3. Варианты задания 3
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблица 4. Варианты задания 4
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
|  .
| ||
 .
|  .
| ||
 .
|  .
|
Таблица 5. Варианты задания 5
| № | 
| 
| 
|
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
|
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
|
| |
|
| 
| |
 9
|
|
| 
|
| 
|
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
|
| |
| 
| 
| |
|
|
| |
| 
| 
| |
|
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
|
| |
|
| 
| 
|
Таблица 6. Варианты задания 6
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблица 7. Варианты задания 7
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблица 8. Варианты задания 8
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Таблица 9. Варианты задания 9
| № | 
| 
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Таблица 10. Варианты задания 10
 ,
| 
|  ,
|
| ||
 ,
|
|  ,
| 
| ||
 ,
|
|  ,
| 
| ||
 ,
|
|  ,
|
| ||
 ,
| 
|  ,
|
| ||
 ,
| 
| Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 213 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!  |