Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции

Пусть функция определена в некоторой области комплексного переменного . Пусть точки и принадлежат области . Обозначим:

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если отношение имеет конечный предел при произвольным образом. Этот предел называется производной функции и обозначается символом (или , или ), так что по определению

Если , то в каждой точке дифференцируемости функции выполняются соотношения:

называемые условиями Коши-Римана.

Обратно, если в некоторой точке функции и дифференцируемы как функции действительных переменных и и, кроме того, удовлетворяют условиям Коши-Римана, то функция является дифференцируемой в точке как функция комплексного переменного .

Определение. Функция называется аналитической в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке , так и в некоторой её окрестности. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Для любой аналитической функции имеем:

.

Пример 8. Показать, что функция является аналитической на всей комплексной плоскости.

Решение. Имеем: , так что

Для функций и проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполняются во всех точках. Значит, функция всюду аналитическая. Тогда

Итак,

Пример 9. Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Решение. Имеем: , так что

Найдём частные производные функций и :

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

и удовлетворяются только в одной точке

Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична.

Таким образом,

Для производных от функций комплексного переменного имеют место правила, аналогичные соответствующим правилам для производных от функций действительного переменного. А именно: если в точке существуют производные и , то существуют и производные , , , , причём выполняются следующие равенства:

где – комплексное число;

(при ).

Производные основных элементарных функций находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента:

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.
7.	13.

Если функция – аналитическая в области , то её действительная часть и мнимая часть являются функциями, гармоническими в области . Это значит, что у каждой из функций и существуют непрерывные в частные производные 2-го порядка, и для каждой из них верно уравнение Лапласа:

Если функция (функция ) является гармонической в некоторой области (вообще говоря, односвязной, т.е. ограниченной замкнутой несамопересекающейся линией), то существует аналитическая в функция с действительной частью (соответственно, с мнимой частью ), определяемая с точностью до постоянного слагаемого.

Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию можно восстановить, если известна её действительная часть или мнимая часть .

Пример 10. Восстановить функцию по известной её действительной части и дополнительном условии

Решение. Проверим, является ли функция гармонической.

Имеем: Вычислим частные производные 2-го порядка:

Отсюда т.е. функция удовлетворяет уравнению Лапласа, а, значит, является гармонической.

Имеем: По первому из условий Коши-Римана должно быть так что

Отсюда где функция пока неизвестна.

Дифференцируя по и используя второе из условий Коши-Римана, получим:

а так как то

отсюда а значит где

Итак, и, следовательно,

Таким образом, Постоянную найдём из условия т.е. , отсюда

Ответ: