Решение. а) Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то

а) Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то .

Имеем: .

Найдём :

Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.

б) Так как при , то согласно таблице эквивалентных бесконечно малых имеем:

Рассмотрим ряд:

,

который расходится, так как расходится ряд Дирихле .

Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:

.

Следовательно, ряд также расходится.

в) имеем:

.

Тогда

.

Следовательно, по признаку Даламбера исследуемый ряд расходится.

г) имеем:

.

Тогда

.

Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.

Задание 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Проверим, сходится ли данный знакочередующийся ряд абсолютно. Для этогоисследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Применим к ряду из абсолютных величин признак Даламбера. Имеем:

.

Тогда

.

Следовательно, ряд сходится. А значит, ряд сходится абсолютно.

Задание 3. Найти область сходимости ряда

Решение. Найдем сначала радиус сходимости степенного ряда по формуле:

.

Имеем: .

Тогда

.

Значит, интервалом абсолютной сходимости данного ряда будет интервал:

;

;

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При , получим числовой ряд

.

1) Ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд , составленный из абсолютных величин членов данного ряда, являющийся рядом Дирихле с , расходится.

2) Используя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнимость условий признака Лейбница для данного ряда:

1.

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2. .

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что ряд сходится условно.

При , получим числовой ряд

, который расходится.

Следовательно, – область сходимости ряда;

– область абсолютной сходимости ряда.