Общая степенная функция

Степенная функция для натурального п определяется формулой Муавра: .

Если же показатель является комплексным числом, то такая функция называется общей степенной и определяется формулой:

, где – комплексное число.

Для этой функции несправедливы свойства:

Пример 6. Для данных функций найти действительную часть и мнимую часть : а) б) ; в)

Решение. а) Учитывая, что , получаем:

т.е.

б)

т.е.

в)

т.е.

Пример 7. Записать в алгебраической форме следующие комплексные числа: а) ; б) ; в) .

Решение. а) Используя формулу получим:

Таким образом, мы представили число в алгебраической форме: , где .

б) Имеем общую степенную функцию, так как в степени стоит комплексное число. Применяя формулу , получим:

.

Вычислим отдельно , используя формулу: :

. Здесь

Тогда

Окончательно получаем:

где

Получили комплексное число, записанное в алгебраической форме, у которого

в) Используя формулу получим:

т.е. получили комплексное число с действительной частью и мнимой частью