Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности

Рассмотрим следующую задачу: построить квадратурную формулу

, (3.1)

которая при заданном n была бы точна для алгебраического многочлена возможно большей степени.

Такие квадратурные формулы называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности или формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени 2 n -1.

Потребуем, чтобы квадратурная формула (3.1) была точна для любого алгебраического многочлена степени m. Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для функции . Отсюда получаем условия

(3.2)

Они представляют собой нелинейную систему уравнений относительно неизвестных . Для того чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, надо потребовать .

Пример 1. Пусть , a =-1, b =1, n =1, m =1. Система (3.1) принимает вид

т.е. приходим к формуле прямоугольников: , которая точна для любого многочлена первой степени.

Пример 2. При n =2, m =3 система (3.2) записывается в виде

Отсюда находим , , т.е. получаем квадратурную формулу , которая точна для любого многочлена третьей степени.

Введем многочлен

(3.3)

Будем предполагать, что .

Теорема 3.1. Квадратурная формула (3.1) точна для любого многочлена степени тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1. многочлен ортогонален с весом любому многочлену степени меньше n, т.е.

(3.4)

2. Формула (3.1) является квадратурной формулой интерполяционного типа, т.е.

(3.5)

Условие (3.4) эквивалентно требованиям

, (3.6)

которые представляют собой систему n уравнений относительно n, неизвестных .

Таким образом, для построения формул Гаусса достаточно найти узлы из соотношений ортогональности (3.6) и затем вычислить коэффициенты согласно (3.5).

Теорема 3.2. Если - многочлен степени n, ортогональный на с весом любому многочлену степени меньше n, то все его корни различны и расположены на .

Из теорем 3.1 и 3.2 следует, что для любого n существует, притом единственная квадратурная формула, точная для любого многочлена степени 2 n -1.

Для погрешности формулы Гаусса справедливо представление

, (3.7)

где .

Рассмотрим частный случай:

Пусть . В этом случае в качестве узлов берутся нули многочлена Лежандра:

(3.8)

Свойства многочлена Лежандра:

1°.

2°. , - полином степени k.

3°. имеет n различных действительных корней принадлежащих интервалу .

Коэффициенты квадратурной формулы находятся из линейной системы:

(3.9)

Вычисления интеграла ведутся по следующим формулам

(3.10)

где (3.11)

- нули многочлена Лежандра.