П. 1.3. Формула трапеций

Введем на равномерную сетку с шагом h

.

На частичном отрезке формула трапеций имеет вид

(1.10)

Она получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлам , т.е. функцией

(*)

Погрешность интерполяционной формулы имеет вид , следовательно, для многочлена (*) получаем

Тогда,

Следовательно,

, (1.11)

где .

Оценка (1.12) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для .

Составная формула трапеций имеет вид

, (1.12)

где

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом

, (1.13)

где .

Таким образом, формула трапеций имеет второй порядок точности , но ее погрешность оценивается в два раза большей величиной, чем погрешность метода прямоугольников.

п. 1.4. Формула Симпсона (парабол)

Введем на отрезке равномерную сетку с шагом h

.

При аппроксимации интеграла (1.4) заменим функцию параболой, проходящей через точки , т.е. представим в виде

,

где - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени:

Проводя интегрирование, получим

,

где , .

Таким образом, приходим к приближенному равенству

(1.14)

Эта формула называется формулой Симпсона или формулой парабол.

На всем отрезке формула Симпсона имеет вид

(1.0)

Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить

.

Тогда формулу Симпсона можно записать следующим образом

(1.15)

Погрешность формулы (1.15) оценивается следующим образом

, (1.16)

где .

Погрешность составной формулы Симпсона (1.17) оценивается так:

, (1.17)

где , .

Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет пятый порядок точности (), а на всем отрезке – четвертый порядок точности ().