П. 1.2. Формула прямоугольников

Введем на отрезке равномерную сетку с шагом h

.

Заменим интеграл (1.4) выражением , где .

Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции ABCD заменяется площадью прямоугольника .

Тогда получим формулу

(1.0)

Она называется формулой средних прямоугольников на частичном отрезке .

Погрешность метода определяется величиной . Ее легко можно оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в следующем виде

, (1.5)

воспользуемся разложением

,

где .

Тогда из (1.6) получим

Обозначим , тогда погрешность можно оценить следующим образом

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

, (1.6)

т.е., формула имеет погрешность при . Оценка (1.7) неулучшаема, т.е. существует формула для которой оценка (1.7) выполняется со знаком равенства (например, ).

Суммируя равенство (1.5) по , получим составную формулу прямоугольников

(1.7)

Погрешность этой формулы равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам

(1.8)

Обозначим , тогда из (1.9) получаем

, (1.9)

т.е., погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина при . В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.