П. 2.1. Вывод формул

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

, (2.1)

где - заданная интерполируемая функция (так называемая весовая функция),

- достаточно гладкая функция.

Рассматриваемые далее формулы имеют вид

, (2.2)

где , - числовые коэффициенты, .

Квадратурные формулы будем получать путем замены интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частным случаем квадратурных формул интерполяционного типа, когда , .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.

Пусть на заданы узлы интерполирования . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на . Заменим в интеграле (2.1) функцию интерполяционным многочленом Лагранжа

,

где , .

Получим приближенную формулу вида (2.2), где

(2.3)

Таким образом, формула (2.2) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (2.3).