Устойчивая система - это динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограниченный входной сигнал

Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворить и последнему определению.

Чтобы определить устойчиво ли равновесие какой-либо статической системы, изучают её поведение при малых отклонениях от положения равновесия. Устойчивость системы при бесконечно малых отклонениях называется устойчивостью в малом. Часто системы, устойчивые в ма­лом, оказываются устойчивыми и при конечных, достаточно больших, от­клонениях, т.е. система оказывается устойчивой в большом.

При исследовании САР рассматривают устойчивость в малом, т.е. по­ведение системы при малых отклонениях регулируемой величины от ус­тановившегося значения. В линейных системах устойчивость в малом обеспечивает устойчивость и в большом.

Понятие «устойчивость» в математической трактовке впервые ввёл в науку русский учёный A.M. Ляпунов (1892 г.). Он дал стройную и закончен­ную постановку задачи об устойчивости движения и методы её решения.

A.M. Ляпуновым были сформулированы следующие теоремы:

Теорема первая. Если вещественные части всех корней характе­ристического уравнения первого приближения отрицательны, то

система будет устойчива, независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Теорема вторая. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдётся, по меньшей мере, один с положи­тельной вещественной частью, то система будет неустойчивой, неза­висимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Пусть, например, свободное движение линейной САР, выведенной малым отклонением из состояния равновесия, описывается дифференци­альным уравнением замкнутой системы

(6.1)

Т.е. в общем случае передаточная функция линейной САР

(6.2)

где n≥т.

Первая часть дифференциального уравнения определяется внешни­ми воздействиями. Об устойчивости системы можно судить по переход­ному процессу при приложении внешних воздействий

(6.3)

Для устойчивых систем правая часть уравнения определяет значение регулируемой координаты у в статическом режиме.

Свободная составляющая

где c_i - постоянная интегрирования;

p_i - корни характеристического уравнения.

Вынужденная составляющая (при p =0) определится

Характеристическое уравнение системы

(6.4)

Характеристическое уравнение или характеристический полином - это знаменатель передаточной функции по задающему, возмущающему воз­действию или по ошибке регулирования.

Вынужденная составляющая представляет собой частное решение уравнения, является полезной составляющей регулируемой величины. Она характеризует установившийся режим системы. Переходная или сво­бодная составляющая является решением однородного дифференциаль­ного уравнения и имеет место в переходном режиме. Эта составляющая по существу представляет ошибку системы в переходном режиме (откло­нение системы от равновесного состояния) и поэтому является нежела­тельной составляющей регулируемой величины. Переходная составляю­щая (решение однородного уравнения) в случае некратных корней может быть представлена в виде следующей суммы:

(6.5)

Очевидно, что система будет устойчивой, если переходная состав­ляющая y_св(t) в ней стечением времени затухает, т.е. решение уравнения (6.5) должно удовлетворять требованию

(6.6)

Если же y_св(t) при t→∞ не стремится к нулю, а возрастает или пред­ставляет незатухающие колебания, то система неустойчива.

Из формулы (6.6) видно, что затухание y_св(t) т.е. устойчивость системы, зависит от значения корней p₁, р₂,…, р_n характеристического уравне­ния замкнутой системы (6.4).

Возможны следующие случаи: