![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Если все корни отрицательные, то стечением времени все члены уравнения (6,6), содержащие множитель ,стремятся к нулю, т.к.
,а отклонение регулируемой величины y(t) стремится к постоянному значению увын(t) или к нулю. Система в этом случае устойчива.
Если хотя бы один из корней, например, p1 положителен, то соответствующий член с течением времени неограниченно возрастает и отклонение регулируемой величины y(t) = yсв(t) →∞. Система в этом случае будет неустойчивой (рис. 6.2),
Если все вещественные корни отрицательны, то каждая составляющая или множитель стремятся к нулю при t →∞, т.е.
Если же вещественные части корней положительны (pi >0), то
и система неустойчивая.
2. Корни комплексные сопряжённые с отрицательной вещественной частью
где αi - показатель затухания колебаний;
Ω i - круговая частота затухающих колебаний.
В этом случае
(6.7)
Если корни сопряженные комплексные, то в этом случае при отрицательных вещественных частях отклонение регулируемой величины приходит к установившемуся значению (к нулю) с затухающими гармоническими колебаниями (рис. 6.3).
Действительно, если вещественные части αi всех комплексных корней отрицательны, то каждое слагаемое суммы (6.7) представляет собой затухающее колебание и поэтому
т.е. система устойчивая.
3. Корни комплексные, сопряжённые при положительной вещественной части
Если хотя бы одна пара комплексных корней имеет положительную вещественную часть (αi > 0), то в этом случае
(6.8)
т.е. отклонение регулируемой величины совершает колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Система неустойчива (рис. 8.4).
4. Корни имеют нулевую вещественную часть (αi= 0), т.е.
В этом случае отклонение регулируемой величины совершает незатухающие колебания (автоколебания), т.е. система находится на границе устойчивости (рис. 6.5).
Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:
- нулевого корня,
- пары чисто мнимых корней,
- бесконечного корня.
Таким образом, условием устойчивости системы автоматического управления является отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения (т.е. расположение всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, рис. 6.6).
Корни характеристического уравнения замкнутой системы зависят только от параметров системы (коэффициентов уравнения ), т. е. от постоянных времени и коэффициентов усиления звеньев.
Корни характеристического уравнения можно представить в виде векторов, расположенных в комплексной плоскости. Очевидно, что система будет устойчивой, если все корни располагаются слева от мнимой оси (рис, 6.7).
В случае, если один вещественный корень или пара комплексно сопряженных корней располагается на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Если система имеет один нулевой корень при всех остальных корнях, расположенных левее мнимой оси, систему называют нейтрально устойчивой.
Для того, чтобы все корни оказались в левой полуплоскости, можно воздействовать на коэффициенты характеристического уравнения, которые связаны с корнями непрерывными зависимостями.
Задача определения устойчивости может быть решена различными методами. Можно определять корни характеристического уравнения и по ним устанавливать знаки вещественных частей. Но такой метод может быть использован, когда порядок характеристического уравнения ниже третьего. Уравнения более высоких степеней вообще не имеют аналитического решения и могут быть решены лишь приближенно.
Но для определения устойчивости совершенно не обязательно знать значение корней. Достаточно убедиться только в отрицательности вещественных частей корней. Для этого можно воспользоваться методами, основанными на использовании критериев устойчивости.
Критерием устойчивости называется косвенный метод определения знаков вещественной части корней характеристического уравнения, не требующий решения этого уравнения.
Все известные критерии делятся на 2 группы:
1) алгебраические,
2) частотные,
К алгебраическим относятся критерии: Вышнеградского, Рауса-Гурвица. К частотным относятся критерии Михайлова, Найквиста, логарифмический критерий устойчивости. Особое место занимает выделение областей устойчивости. Применение того или иного критерия зависит от конкретных условий.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 951 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!