Алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости позволяют установить, устойчива система или нет, по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения. Впервые вопрос устойчи­вости динамических систем был исследован Максвеллом и Вышнеградским. В конце XIX века А. Гурвиц и Э.Дж. Раус независимо друг от друга опублико­вали работы, посвященные методу анализа устойчивости линейных систем. Критерий Рауса-Гурвица позволяет ответить на вопрос об устойчивости путём анализа характеристического уравнения системы, записанного в виде

Для ответа на поставленный вопрос необходимо установить, находит­ся ли хотя бы один из корней этого уравнения в правой половине ком­плексной плоскости.

Анализ характеристического уравнения показывает, что если все кор­ни расположены в левой полуплоскости, то все коэффициенты характери­стического полинома должны иметь один и тот же знак. Необходимо так­же, чтобы все коэффициенты были отличны от нуля (если система устой­чива). Однако эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточ­ными. Это означает, что если данные условия не выполняются, то сразу можно сказать, что система неустойчива; но если даже эти условия выполняются, то для ответа на вопрос об устойчивости системы необходимы дальнейшие исследования.

Критерий Рауса-Гурвица даёт необходимое и достаточное условие ус­тойчивости линейных систем. Первоначально он был предложен в форме определителей, в соответствии с которыми для получения отрицательных, вещественной части, всех корней характеристического уравнения r -й степе­ни, необходимо и достаточно, чтобы при α₀ >0 все n -определителей Гурвица были положительными, а затем в более удобной табличной форме.

С помощью критерия устойчивости Гурвица сравнительно просто иссле­довать устойчивость систем, описываемых уравнениями не выше 4-5-го по­рядков. Исследование же систем более высокого порядка с помощью крите­рия Гурвица становится сложным. Кроме того, недостатком этого критерия является то, что трудно проследить, как влияет тот или иной параметр системы (T, ξ, k) на устойчивость. Поэтому, наряду с алгебраическим критерием устойчивости Гурвица, применяются частотные критерии устойчивости.

В настоящее время применение алгебраических критериев не акту­ально. Ознакомиться подробнее с этими критериями можно в любом учебнике по ТАУ.