Логарифмический критерий устойчивости

Построение АФХ в комплексной плоскости требует трудоём­ких вычислений, особенно в тех случаях, когда знаменатель передаточной функции является многочленом высокой степени. Поэтому в ряде случаев пользуются логарифмическими частотными характеристиками.

Метод основывается на возможности суждения об устойчивости замк­нутой системы по взаимному расположению ЛАЧХ и ЛФЧХ системы в ра­зомкнутом состоянии. Согласно критерию Найквиста, в случае, если сис­тема устойчива, точка (- 1 ,j 0) лежит слева от амплитудно-фазовой харак­теристики первого рода.

Система будет находиться на границе устойчивости, если аргумент АФХ равен φ=-π а модуль

При этом

т.е. ЛАЧХ L(ω) пересекает ось абсцисс. Точка пересечения характеризует­ся частотой среза ω_c (рис. 6.15, а).

Если система устойчива, то при φ=-π величина

а

т.е. ордината логарифмической амплитудной частотной характеристики будет иметь отрицательный знак (рис. 6.15, б).

Для неустойчивой системы угол φ=-π соответствует

и

.

В этом случае ордината ЛАЧХ будет иметь положительное значение.

Либо при ω = ω_c φ>π (рис. 6.15, в).

Применение логарифмического критерия устойчивости даёт возмож­ность, определить влияние того или иного параметра системы на её устой­чивость и переходный процесс, а также сравнительно просто определить характеристику корректирующего устройства.

Например, на рис. 6.16 показано влияние коэффициента усиления на устойчивость ЛАЧХ. L₁(ω) и L₂(ω) будут различны при различных коэффи­циентах усиления разомкнутой системы k_p1 и k_p2, а ЛФЧХ будут совпадать.

Характеристики построены для случая k_p1 > k_p2. Построение частотной ха­рактеристики позволяет определить запас устойчивости по фазе

и запас устойчивости по амплитуде, как число децибел, на которое нужно увеличить усиление системы, чтобы система достигла границы устойчивости.

При заданном коэффициенте усиления k_p1 логарифмические характе­ристики будут иметь вид кривых L₁(ω) и φ(ω). При частоте среза ω_c1 фаза составляет φ(ω_с1) >-π, т.е. система неустойчива.

Необходимо найти такое значение коэффициента k_p1 при котором обес­печивается запас по фазе, равный μ. Для этого на графике откладывается значение φ_c=-180°-μ, получим точку A, через которую проводим вертикаль до пересечения с частотой ω_c2 на оси абсцисс. Через эту точку проводится L₂(ω) параллельно L₁(ω). Находится новое значение коэффициента усиле­ния , где изменение коэффициента усиления Δk определится из соотношения

Для систем, имеющих АФХ второго рода, т.е. «клювообразных» и бо­лее сложных по своей форме, практически удобнее пользоваться форму­лировкой логарифмического критерия устойчивости, вытекающей из пра­вила о числе переходов. Для примера рассмотрим частотные характери­стики W(ϳω) и логарифмические частотные характеристики L(ω) и φ(ω) для условно устойчивой системы.

На основании этих характеристик и правил о числе переходов ЛФЧХ φ(ω) через линию φ =-180° логарифмический критерий устойчивости мож­но сформулировать следующим образом:

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устой­чивой и в замкнутом состоянии, если разность между числа­ми положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ φ(ω) через прямую φ=-π равна нулю в диапазоне частот, в котором ЛФЧХ L(ω) положительна (рис. 6.17).

На основании этого критерия система, имеющая характеристику L₂(ω)- устойчива, а система, имеющая характеристику L₁(ω) (при меньшем коэф­фициенте усиления k_p1),и система, имеющая характеристику L₃(ω) (при большем k_p), будут неустойчивыми.

С помощью критериев устойчивости можно определить, устойчива ли система при заданных её параметрах (постоянных времени, коэффициентах усиления). Однако на практике, например, при проектировании САР, часто ставится задача: при заданных параметрах за исключением одного-двух па­раметров, изменяющихся вшироких пределах, требуется определить, при каких значениях этих параметров система устойчива. Некоторые параметры системы могут изменяться в процессе эксплуатации. В этих случаях требует­ся определить, будет ли устойчивой система при изменении этих параметров.

Поставленные задачи могут быть решены, если установить область возможных изменений тех или иных параметров. Для этого строятся об­ласти устойчивости.