Третья подстановка Эйлера

Условие применимости этой подстановки: полином имеет действительные корни х ₁ и х ₂.

Сама третья подстановка Эйлера имеет вид

.

Покажем, что она сводит наш интеграл к интегралу от дробно рациональной функции. Так как , то

.

Отсюда находится х через t:

.

Для комбинации получаем

,

и корень исчезает. Легко получить, что

и рассматриваемый интеграл приводится к виду

,

и под знаком интеграла снова получилась дробно рациональная функция от переменной t.

Как видно из приведенных ниже рисунков, эти две подстановки исчерпывают все возможные случаи.

Применима первая подстановка Эйлера	Применимы первая и третья подстановки Эйлера

Применима третья подстановка Эйлера	Подкоренное выражение всегда отрицательно, поэтому интеграл не имеет смысла.

Заметим в заключение, что если , то и никаких иррациональностей нет.