Упрощенные подстановки

Универсальная подстановка потому и называется универсальной, что позволяет любые интегралы рассматриваемого типа сводить к интегралам от дробно рациональных функций. Однако, получающиеся при этом интегралы обычно достаточно сложны. Поэтому ее следует использовать только в том случае, если нельзя применить так называемые упрощенные подстановки, к рассмотрению которых мы и переходим. Их всего три.

1. Условие применимости первой упрошенной подстановки имеет вид

.

Чтобы изложение дальнейшего было короче, будем писать u вместо и v вместо . Тогда условие применимости первой упрощенной подстановки примет вид .

Но в нашей формуле, определяющей функцию и в числителе и в знаменателе стоят полиномы по переменным и и v. Когда же функция будет нечетной функцией по переменной и? Легко догадаться, что это будет тогда, когда сомножитель и можно вынести за скобки и, после этого, в числителе и знаменателе останутся лишь полиномы от переменной и ², то есть тогда, когда функция может быть приведена к виду .

Это условие и определяет первую упрощенную подстановку. Она имеет вид

.

Тогда и мы имеем

и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

2. Условие применимости второй упрошенной подстановки имеет вид

.

Повторяя почти дословно все рассуждения, касающиеся первой упрощенной подстановки, можно получить, что в этом случае функция может быть приведена к виду .

Вторая упрощенная подстановка имеет вид . Тогда и мы имеем

=

и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

2. Условие применимости третьей упрошенной подстановки имеет вид

.

Попытаемся сообразить, что это дает относительно вида функции . Прежде всего имеем

.

Тогда условие применимости третьей упрощенной подстановки дает

.

Используя те же рассуждения, что и выше, легко догадаться, что второй аргумент у должен содержать только четные степени v. Поэтому , и

.

Это и определяет третью упрощенную подстановку. Она имеет вид . Действительно, в этом случае

, , ,

и наш интеграл принимает вид

и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

6.11 Вычисление интегралов вида

Рассмотрим вычисление интегралов вида при условии (очевидно, что если имеет место равенство, то под знаком корня дробь сократится, и будет просто интеграл от дробно рациональной функции).

Все, что здесь надо запомнить - это то, какую замену переменных (подстановку) здесь нужно сделать, а именно

.

Дальше все идет само собой. Выражаем х через t

, , ,

и самое неприятное - корень - исчез.

Далее имеем

.

Заметим, что .

Окончательно получаем

,

и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

6.12 Вычисление интегралов вида

Рассмотрим теперь вычисление интегралов вида , где т, п, и р - рациональные числа.

Рассмотрим четыре возможных случая.

1. р - целое положительное число.

Тогда следует комбинацию раскрыть по формуле бинома Ньютона, раскрыть скобки и проинтегрировать почленно.

2. р - целое отрицательное число.

Вспомним, что т и п - рациональные числа. Это значит, что они представимы в виде . Пусть r есть наименьшее общее кратное чисел t ₁ и t ₂. Тогда .

Теперь сделаем замену переменных . Тогда получаем

, , ,

и рассматриваемый интеграл принимает вид

,

и степени у t всюду целые числа и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.

3. Комбинация - целое число.

Пусть . Тогда надо сделать следующую замену переменных

(обратите внимание, откуда в показателе корня взялось это s!).

А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим х через t:

; .

Теперь найдем dx

и подставим все это в изучаемый интеграл

.

Но - целое число! Все остальные степени также целые числа. Поэтому под знаком интеграла стоит дробно рациональная функция и интеграл вычисляется методом разложения подынтегральной функции на простейшие.

4. Комбинация - целое число.

Пусть снова . Тогда надо сделать следующую замену переменных

.

А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим х через t:

; .

Дифференцируем последнее соотношение

.

Попытаемся переписать подынтегральное выражение так, чтобы в нем была явно видны комбинации, равные и t:

Заметим теперь, что

,

так что, продолжая предыдущую строку, получаем

.

Но - целое число. Все остальные степени также целые числа. Поэтому под знаком интеграла стоит дробно рациональная функция и интеграл вычисляется методом разложения подынтегральной функции на простейшие.

Как показал знаменитый русский математик П.Л. Чебышёв, во всех остальных случаях рассматриваемый интеграл через элементарные функции не выражается.

6.13 Вычисление интегралов вида . Подстановки Эйлера

Рассмотрим теперь вычисление интегралов вида . Они находятся с помощью так называемых подстановок Эйлера. Вообще-то их три, но мы рассмотрим только две - первую и третью.