![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Универсальная подстановка потому и называется универсальной, что позволяет любые интегралы рассматриваемого типа сводить к интегралам от дробно рациональных функций. Однако, получающиеся при этом интегралы обычно достаточно сложны. Поэтому ее следует использовать только в том случае, если нельзя применить так называемые упрощенные подстановки, к рассмотрению которых мы и переходим. Их всего три.
1. Условие применимости первой упрошенной подстановки имеет вид
.
Чтобы изложение дальнейшего было короче, будем писать u вместо и v вместо
. Тогда условие применимости первой упрощенной подстановки примет вид
.
Но в нашей формуле, определяющей функцию и в числителе и в знаменателе стоят полиномы по переменным и и v. Когда же функция
будет нечетной функцией по переменной и? Легко догадаться, что это будет тогда, когда сомножитель и можно вынести за скобки и, после этого, в числителе и знаменателе останутся лишь полиномы от переменной и 2, то есть тогда, когда функция
может быть приведена к виду
.
Это условие и определяет первую упрощенную подстановку. Она имеет вид
.
Тогда и мы имеем
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
2. Условие применимости второй упрошенной подстановки имеет вид
.
Повторяя почти дословно все рассуждения, касающиеся первой упрощенной подстановки, можно получить, что в этом случае функция может быть приведена к виду
.
Вторая упрощенная подстановка имеет вид . Тогда
и мы имеем
=
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
2. Условие применимости третьей упрошенной подстановки имеет вид
.
Попытаемся сообразить, что это дает относительно вида функции . Прежде всего имеем
.
Тогда условие применимости третьей упрощенной подстановки дает
.
Используя те же рассуждения, что и выше, легко догадаться, что второй аргумент у должен содержать только четные степени v. Поэтому
, и
.
Это и определяет третью упрощенную подстановку. Она имеет вид . Действительно, в этом случае
,
,
,
и наш интеграл принимает вид
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
6.11 Вычисление интегралов вида
Рассмотрим вычисление интегралов вида при условии
(очевидно, что если имеет место равенство, то под знаком корня дробь сократится, и будет просто интеграл от дробно рациональной функции).
Все, что здесь надо запомнить - это то, какую замену переменных (подстановку) здесь нужно сделать, а именно
.
Дальше все идет само собой. Выражаем х через t
,
,
,
и самое неприятное - корень - исчез.
Далее имеем
.
Заметим, что .
Окончательно получаем
,
и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
6.12 Вычисление интегралов вида
Рассмотрим теперь вычисление интегралов вида , где т, п, и р - рациональные числа.
Рассмотрим четыре возможных случая.
1. р - целое положительное число.
Тогда следует комбинацию раскрыть по формуле бинома Ньютона, раскрыть скобки и проинтегрировать почленно.
2. р - целое отрицательное число.
Вспомним, что т и п - рациональные числа. Это значит, что они представимы в виде . Пусть r есть наименьшее общее кратное чисел t 1 и t 2. Тогда
.
Теперь сделаем замену переменных . Тогда получаем
,
,
,
и рассматриваемый интеграл принимает вид
,
и степени у t всюду целые числа и мы получили интеграл от дробно рациональной функции.
3. Комбинация - целое число.
Пусть . Тогда надо сделать следующую замену переменных
(обратите внимание, откуда в показателе корня взялось это s!).
А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим х через t:
;
.
Теперь найдем dx
и подставим все это в изучаемый интеграл
.
Но - целое число! Все остальные степени также целые числа. Поэтому под знаком интеграла стоит дробно рациональная функция и интеграл вычисляется методом разложения подынтегральной функции на простейшие.
4. Комбинация - целое число.
Пусть снова . Тогда надо сделать следующую замену переменных
.
А теперь проделаем аккуратно все выкладки. Сначала выразим х через t:
;
.
Дифференцируем последнее соотношение
.
Попытаемся переписать подынтегральное выражение так, чтобы в нем была явно видны комбинации, равные и t:
Заметим теперь, что
,
так что, продолжая предыдущую строку, получаем
.
Но - целое число. Все остальные степени также целые числа. Поэтому под знаком интеграла стоит дробно рациональная функция и интеграл вычисляется методом разложения подынтегральной функции на простейшие.
Как показал знаменитый русский математик П.Л. Чебышёв, во всех остальных случаях рассматриваемый интеграл через элементарные функции не выражается.
6.13 Вычисление интегралов вида . Подстановки Эйлера
Рассмотрим теперь вычисление интегралов вида . Они находятся с помощью так называемых подстановок Эйлера. Вообще-то их три, но мы рассмотрим только две - первую и третью.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 533 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!