Интегрирование дробно рациональных функций

Если под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь, то, после разложения ее на простейшие, мы получим интегралы следующих четырех типов:

(тип I), (тип II), (тип III), и (тип IV),

и если мы научимся вычислять эти интегралы, мы сможем найти интегралы от любых дробно рациональных функций.

Итак:

Тип I. Делая замену переменных , , получим:

.

Тип II. Делая замену переменных , , получим:

.

Тип III.

Имеем .

Выделим в знаменателе полный квадрат

,

где . Тогда получаем

.

В первом интеграле сделаем замену переменных . Тогда

.

Во втором интеграле, после той же замены переменных, получим

.

Сводя все вместе и упрощая, получим

,

что и дает явное выражение для интеграла третьего типа.

Тип IV. Мы не будем выводить выражение для интегралов этого типа - оно очень громоздкое и носит рекуррентный характер. При желании, Вы можете найти его в справочниках или в более подробных курсах по математическому анализу. Для нас принципиальным является лишь то, что все эти интегралы выражаются через элементарные функции, и поэтому неопределенный интеграл от дробно рациональной функции всегда может быть вычислен (хотя и с большими трудностями).