Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть и есть полиномы действительной переменной х. Функция вида называется дробно рациональной функцией, или, короче, рациональной дробью. Если , то рациональная дробь называется правильной.
Если , то можно всегда поделить столбиком и представить рациональную дробь в виде
.
Теорема 1. Пусть - правильная рациональная дробь и b есть действительный корень полинома кратности k, то есть , . Тогда имеет место разложение
,
где , а - полином такой степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.
Доказательство.
Возьмем и рассмотрим разность
.
, то есть b есть корень полинома . Пусть его кратность равна s. Тогда
,
и
,
что и требовалось доказать. <
Следствие.
Продолжая разложение дальше, получим
.
Некоторые из могут быть равны нулю, но .
Теорема 2. Пусть есть правильная рациональная дробь и b есть комплексный корень полинома кратности l, то есть . Тогда имеет место разложение
,
где , а - полином такой степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.
Доказательство.
Рассмотрим
и постараемся подобрать М и N так, чтобы выполнилось условие .
Так как b есть комплексный корень, то и . Тогда из нашего условия получим
.
Приравнивая мнимые части этих выражений, получим
,
откуда однозначно определяется М
.
Приравнивая действительные части этих выражений, получим
,
откуда, зная М, можно однозначно определить и N:
.
Таким образом, М и N определяются однозначно.
Но теперь у полинома будет пара комплексно сопряженных корней b и некоторой кратности s. Поэтому
и мы получим
,
что и требовалось доказать. <
Следствие.
Продолжая разложение дальше, получим
.
Опять таки, некоторые из и могут быть равны нулю.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 204 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!