Разложение рациональных дробей на простейшие

Пусть и есть полиномы действительной переменной х. Функция вида называется дробно рациональной функцией, или, короче, рациональной дробью. Если , то рациональная дробь называется правильной.

Если , то можно всегда поделить столбиком и представить рациональную дробь в виде

.

Теорема 1. Пусть - правильная рациональная дробь и b есть действительный корень полинома кратности k, то есть , . Тогда имеет место разложение

,

где , а - полином такой степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.

Доказательство.

Возьмем и рассмотрим разность

.

, то есть b есть корень полинома . Пусть его кратность равна s. Тогда

,

и

,

что и требовалось доказать. <

Следствие.

Продолжая разложение дальше, получим

.

Некоторые из могут быть равны нулю, но .

Теорема 2. Пусть есть правильная рациональная дробь и b есть комплексный корень полинома кратности l, то есть . Тогда имеет место разложение

,

где , а - полином такой степени, что второе слагаемое есть правильная рациональная дробь.

Доказательство.

Рассмотрим

и постараемся подобрать М и N так, чтобы выполнилось условие .

Так как b есть комплексный корень, то и . Тогда из нашего условия получим

.

Приравнивая мнимые части этих выражений, получим

,

откуда однозначно определяется М

.

Приравнивая действительные части этих выражений, получим

,

откуда, зная М, можно однозначно определить и N:

.

Таким образом, М и N определяются однозначно.

Но теперь у полинома будет пара комплексно сопряженных корней b и некоторой кратности s. Поэтому

и мы получим

,

что и требовалось доказать. <

Следствие.

Продолжая разложение дальше, получим

.

Опять таки, некоторые из и могут быть равны нулю.