Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа

Вспомним ряды Тейлора

,

,

.

Далее заметим, что , , и далее все повторяется.

Найдем теперь . Имеем

.

Мы получили знаменитую формулу Эйлера

.

Полезно помнить некоторые следствия из этой формулы. Заменяя в ней i на - i, получим

.

Складывая и вычитая эти две формулы, получим

, .

Вспоминая гиперболические функции, можем записать:

, ,

что говорит о родстве этих функций.

Вернемся к комплексным числам. Имеем

,

что и дает так называемую показательную форму комплексного числа. Так как аргумент j определяется с точностью до слагаемого , то, в общем случае,

, .

Эта формула позволяет определить логарифм комплексного числа:

, .

Заметим, что логарифм - бесконечнозначная функция.

В частности, , , так как и .