Разложение полинома на сомножители

Теперь мы можем окончательно решить вопрос о разложении полинома на сомножители. Рассмотрим полином . Пусть он имеет действительные корни с кратностями соответственно. Далее, пусть он имеет пары комплексно сопряженных корне й , , …, с кратностями соответственно. Заметим, что при этом выполняется условие

.

Откажемся от комплексной переменной z, и будем рассматривать наш полином как функцию действительной переменной х. Тогда имеет место разложение

.

Рассмотрим пару , . Для нее имеем

.

Обозначим , . Тогда

.

Заметим, что в этом случае должно выполняться условие .

Тогда полином можно представить в виде

. (*)

Сомножитель соответствует действительному корню кратности ; сомножитель - паре комплексно сопряженных корней кратности .

Это разложение полинома на сомножители является для дальнейшего основным. Всюду далее будет предполагаться, что все корни полинома найдены и он разложен на сомножители вида (*).