Тригонометрическая форма комплексных чисел

С геометрической интерпретацией связана и еще одна форма записи комплексных чисел, называемая тригонометрической формой.

Соединим точку с началом координат отрезком прямой. Длина этого отрезка r называется модулем комплексного числа z и обозначается как или .

Угол j, который этот отрезок образует с осью абсцисс, называется аргументом комплексного числа z и обозначается как . Он определяется с точностью до слагаемого .

Из рисунка видно, что имеет место соотношение , . Отсюда следует, что , . Таким образом, мы можем записать , или

.

Эта форма записи и получила название комплексного числа в тригонометрической форме.

Рассмотрим операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Пусть имеется два комплексных числа и .

Равенство чисел

Два комплексных числа и считаются равными, если и ,

Умножение комплексных чисел

Имеем

.

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы - складываются.

Деление комплексных чисел

Имеем

.

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы - вычитаются.

Возведение в степень

Пусть . Тогда, согласно сказанному выше,

,

то есть при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на нее.

Отметим частный случай этой формулы. При получаем

.

Эта формула называется формулой Муавра.

Извлечение корней

Полученный выше результат позволяет вывести алгоритм извлечения корней из комплексных чисел.

Пусть имеется комплексное число . Что понимать под ?

Для ответа на этот вопрос вспомним прежде всего, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до то есть

,

Допустим, что есть также комплексное число . Но тогда должно иметь место соотношение , или

.

Отсюда получаем, что , , или , . Таким образом

.

Заметим, что разные значения получаются лишь для , далее все повторяется. Таким образом, корень п -й степени из комплексного числа имеет ровно п различных значений.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть надо найти . Как видно из рисунка, , , то есть

.

По приведенной выше формуле

.

Беря , получим . Беря , получим . Легко проверить, что квадраты этих чисел равны i.

Пример 2.

Пусть надо найти . Как видно из рисунка, , , так что . По приведенной выше формуле

.

Беря получим

и, кроме всем известного результата , получились еще два числа, кубы которых также равны -1, что легко проверить непосредственным вычислением.