Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение. Число b (действительное или комплексное) называется корнем полинома , если .
Теорема 1. Для того, чтобы b было корнем полинома , необходимо и достаточно, чтобы делилось на .
Доказательство.
По сказанному выше, имеем
,
где с - полином степени 0, то есть константа. Тогда
1. Если b есть корень , то , откуда следует, что и делится на .
2. Если делится на , то и тогда , то есть b корень полинома . <
Теорема 2. Пусть корень полинома b есть комплексное число. Тогда комплексно сопряженное число также является корнем этого полинома.
Доказательство.
1. Докажем сначала, что . Имеем
,
,
.
С другой стороны
,
.
2. Так как по условию все коэффициенты полинома есть действительные числа, то .
3. Поэтому, если
,
то
и также есть корень полинома . <
Таким образом, комплексные корни полинома всегда «ходят парами»: если есть корень, то - тоже корень.
Основная теорема алгебры. Всякий полином степени п ³ 1 имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).
Доказывать эту теорему мы не будем - все-таки это курс математического анализа, а не алгебры.
Теорема 3. Полином степени п имеет ровно п корней.
Доказательство.
Рассмотрим полином . Тогда, по основной теореме алгебры, такое, что и поэтому имеет место разложение .
Рассмотрим полином . Тогда, по основной теореме алгебры, такое, что и поэтому имеет место разложение .
Рассмотрим полином . Тогда, по основной теореме алгебры, такое, что и поэтому имеет место разложение .
И т.д., и т.д., и т.д.
Заметим, что каждый раз степень полинома уменьшается на 1. В конце концов, на п -м шаге мы дойдем до полинома степени 0 и получим такое разложение
.
Других корней у этого полинома нет, так если z не совпадает с каким-то из , то все сомножители вида отличны от нуля и . <
Определение. Если в разложении на сомножители бином повторяется k раз, то говорят, что корень b имеет кратность k.
Если k = 1, то корень называется простым.
Заметим еще, что в паре комплексно сопряженных корней оба корня имеют одинаковую кратность.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 310 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!