Алгебраическая форма комплексных чисел

Пусть х и у - обычные вещественные числа. Число вида

называется комплексным числом в алгебраической форме.

х называют действительной частью числа z, и обозначают так: . у называют мнимой частью числа z и обозначают так: . Если , то число называют действительным числом; если , то число называют мнимым числом.

Число называется числом, комплексно сопряженным числу z. Действует следующее общее правило: чтобы получить число, комплексно сопряженное данному числу, надо в нем заменить i на - i.

Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме. Пусть даны два комплексных числа и .

Равенство и сравнение комплексных чисел

Два комплексных числа считаются равными, если у них равны действительные части и мнимые части:

.

Но вот операции типа «больше» и «меньше» доя комплексных чисел не имеют смысла, то есть бессмысленно писать или . Совершенно непонятно, что больше: или . Комплексные числа не упорядочены.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно естественно

,

то есть надо сложить (или вычесть) отдельно действительные и мнимые части.

Умножение комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел также чисел также определяется совершенно естественно. Надо лишь помнить, что :

.

Деление комплексных чисел

Для деления комплексных чисел полезно запомнить следующее правило: чтобы разделить два комплексных числа друг на друга надо числитель и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю:

,

где учтено, что . Заметим, что при делении двух комплексных чисел снова получается комплексное число.