![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть даны две дифференцируемые функции и
. Тогда, по свойствам дифференциалов,
.
Интегрируя это соотношение, получим . Отсюда следует, что
.
Эта формула и носит название формулы интегрирования по частям.
Пример.
Пусть надо вычислить интеграл .
Разбиваем подынтегральное выражение на кусочки ,
. Отсюда получается, что
,
. Формула интегрирования по частям дает тогда
.
Как уже говорилось выше, четких и однозначных алгоритмов вычисления неопределенных интегралов нет и не может быть, так как имеется огромное число так называемых неберущихся интегралов, то есть таких интегралов, которые не выражаются через элементарные функции и представляют собой класс так называемых специальных функций. Однако имеются определенные классы функций, для которых алгоритмы вычисления интегралов могут быть четко сформулированы. К изучению этих классов функций мы и переходим. Но, прежде чем приступить к их изучению, придется сделать небольшое, но очень важное отступление.
6.5 Комплéксные числа
В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся математических объектов.
Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных чисел. Складывая положительные числа, в ответе всегда получаем положительное число. Но обратная операция - вычитание - привела к необходимости рассматривать числа отрицательные.
Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целое число. Обратная операция - деление - приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.
Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция - извлечение квадратного корня - приводит к иррациональным числам (, например), то есть к числам, не являющимся рациональными.
Но та же операция извлечения квадратного корня дает и еще один класс чисел. Как известно, квадрат любого числа есть число неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел (например, ). А как быть с
? Чему он равен? Ведь нет такого вещественного числа, квадрат которого был бы равен - 9.
Но, как говорится, если нельзя, но очень хочется - то можно. И желание извлекать квадратные корни из отрицательных чисел привело к новому классу чисел, называемых комплéксными числами. Для их рассмотрения оказалось достаточным ввести всего лишь одно новое число
,
которое называется «мнимой единицей». Считается, что это «число» обладает всеми свойствами обычных чисел, и имеет всего одно единственное новое свойство
.
Так что, например, , ибо
. Числа, содержащие i, называются комплéксными числами. Без них немыслима современная математика.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 202 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!