Первообразная

Глава 6. Неопределенный интеграл

Первообразная

Определение 1. Функция называется первообразной функции , если .

Пример.

Рассматриваемый ниже пример очень важен для дальнейшего. Пусть . Утверждается, что в этом случае первообразная .

Проверяем:

Пусть . Тогда и .

Пусть теперь . Тогда и ,

так что всегда .

Теорема. Если и - две первообразные от одной и той же функции , то .

Доказательство.

Действительно, в этом случае и поэтому, согласно условия постоянства функции, . <

Следствие. Если есть одна из первообразных функции , то любая другая первообразная имеет вид .

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается .

Таким образом

где есть любая из первообразных функции .