![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим примеры на вычисление пределов функции из числа тех, которые получили в математике название «замечательных».
1. .
![]() | Рассмотри окружность радиуса ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
и «переворачивая» его, получим
.
Перейдем в этих неравенствах к проделу х ®0. Тогда получим
.
Но мы только что показали, что cos x - непрерывная функция. Поэтому и, по теореме о «двух милиционерах», отсюда следует, что
.
Это соотношение можно записать и так:
,
что используется при вычислении пределов чтобы избавиться от функции sin (…).
Рассмотрим еще один полезный предел. Имеем:
,
который можно записать так:
.
Это соотношение также используется при вычислении пределов чтобы избавиться от функции cos (…).
2. .
Этот предел является обобщением предела . Выведем его.
а) Пусть есть последовательность положительных целых чисел, такая, что
и
. Но тогда последовательность
есть подпоследовательность последовательности
и поэтому
.
б) Пусть есть любая монотонно возрастающая последовательность положительных вещественных чисел, такая, что
, и пусть
есть целая часть числа xk. Тогда " k
и мы имеем следующую цепочку неравенств:
;
.
Но тогда
,
,
откуда, по теореме «о двух милиционерах» следует, что
.
Так как этот предел не зависит от вида последовательности , то
.
в) Пусть теперь х ®-¥. Тогда и, так как,
, имеем
,
и поэтому, учитывая, что , получаем
,
Объединяя вместе две эти формулы, можем окончательно записать
.
Рассмотрим еще некоторые пределы, которые полезно знать.
3. В только что полученном пределе сделаем «замену переменных» . Тогда при х ®±¥ z ®0 и мы получаем
.
4. Вспомним, что log a – непрерывная функция. Логарифмируя предыдущее равенство, получим:
.
Итак,
.
В частности,
.
Это соотношение можно записать и в таком виде
.
5. В предыдущем соотношении сделаем снова замену переменных . Тогда при
получаем
.
Переворачивая это соотношение, получим
.
В частности,
.
Это соотношение можно записать и в таком виде
.
6. Докажем, что
.
Для этого положим . Тогда при x ®0 y ®0. Далее
, и логарифмируя это равенство, получим
.
Далее имеем
,
так как оба написанных предела равны 1.
Этот предел можно записать и в такой форме
.
7. Докажем, что при a > 1 и при m > 0
.
а) Докажем сначала, что при a > 1 . Действительно, обозначим a =1+l, l>0. Пользуясь формулами бинома Ньютона, получим
.
Поэтому , и при
, то есть
.
б) Возьмем произвольное x ®+¥ и обозначим n = [ x ], то есть n - целая часть от x. Тогда n £ x £ n +1 и получаем
,
так что . Поэтому
.
в) Наконец, при произвольном m > 0 имеем
.
8. Докажем, что при m > 0 и a > 1
.
Действительно, делая замену переменных log a (x)= y, x = ay, получим, что при x ®+¥, y ®+¥ и
.
9. Докажем, что при m > 0 и a > 1
.
Действительно, делая замену переменных , получим
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 217 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!