Замечательные пределы

Рассмотрим примеры на вычисление пределов функции из числа тех, которые получили в математике название «замечательных».

1. .

Рассмотри окружность радиуса и некоторый угол с вершиной в центре окружности. В точке проведем касательную к окружности. Тогда, как видно из рисунка, . Поэтому . Так как высота равна , а , то , то есть при . Деля все части этого неравенства на ,

и «переворачивая» его, получим

.

Перейдем в этих неравенствах к проделу х ®0. Тогда получим

.

Но мы только что показали, что cos x - непрерывная функция. Поэтому и, по теореме о «двух милиционерах», отсюда следует, что

.

Это соотношение можно записать и так:

,

что используется при вычислении пределов чтобы избавиться от функции sin (…).

Рассмотрим еще один полезный предел. Имеем:

,

который можно записать так:

.

Это соотношение также используется при вычислении пределов чтобы избавиться от функции cos (…).

2. .

Этот предел является обобщением предела . Выведем его.

а) Пусть есть последовательность положительных целых чисел, такая, что и . Но тогда последовательность есть подпоследовательность последовательности и поэтому

.

б) Пусть есть любая монотонно возрастающая последовательность положительных вещественных чисел, такая, что , и пусть есть целая часть числа x_k. Тогда " k и мы имеем следующую цепочку неравенств:

;

.

Но тогда

,

,

откуда, по теореме «о двух милиционерах» следует, что

.

Так как этот предел не зависит от вида последовательности , то

.

в) Пусть теперь х ®-¥. Тогда и, так как, , имеем

,

и поэтому, учитывая, что , получаем

,

Объединяя вместе две эти формулы, можем окончательно записать

.

Рассмотрим еще некоторые пределы, которые полезно знать.

3. В только что полученном пределе сделаем «замену переменных» . Тогда при х ®±¥ z ®0 и мы получаем

.

4. Вспомним, что log _a – непрерывная функция. Логарифмируя предыдущее равенство, получим:

.

Итак,

.

В частности,

.

Это соотношение можно записать и в таком виде

.

5. В предыдущем соотношении сделаем снова замену переменных . Тогда при получаем

.

Переворачивая это соотношение, получим

.

В частности,

.

Это соотношение можно записать и в таком виде

.

6. Докажем, что

.

Для этого положим . Тогда при x ®0 y ®0. Далее , и логарифмируя это равенство, получим

.

Далее имеем

,

так как оба написанных предела равны 1.

Этот предел можно записать и в такой форме

.

7. Докажем, что при a > 1 и при m > 0

.

а) Докажем сначала, что при a > 1 . Действительно, обозначим a =1+l, l>0. Пользуясь формулами бинома Ньютона, получим

.

Поэтому , и при , то есть .

б) Возьмем произвольное x ®+¥ и обозначим n = [ x ], то есть n - целая часть от x. Тогда n £ x £ n +1 и получаем

,

так что . Поэтому .

в) Наконец, при произвольном m > 0 имеем

.

8. Докажем, что при m > 0 и a > 1

.

Действительно, делая замену переменных log _a (x)= y, x = a^y, получим, что при x ®+¥, y ®+¥ и

.

9. Докажем, что при m > 0 и a > 1

.

Действительно, делая замену переменных , получим

.