![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть даны соотношений
(79)
Здесь в правой части – известные выражения, содержащие
а
– искомые функции. Соотношение (79) называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Без строгого обоснования при дополнительных предположениях покажем, что эта система решается путём приведения её к решению одного дифференциального уравнения
-го порядка с одной неизвестной функцией, например,
Для этого из (79) нужно исключить неизвестные функций
. Непосредственно сделать это не удастся, потому что кроме
система содержит производные
. Поэтому от системы (79) перейдём к другой, которая не будет содержать этих производных. С этой целью продифференцируем по
первое соотношение в (79), учитывая при этом, что правая часть первого уравнения является сложной функцией от
так как
являются функциями от
Использовав правило дифференцирования сложных функций многих переменных и продифференцировав первое уравнение системы (79) по
, получим
Здесь производные заменим правыми частями
системы (79), которым эти производные равны. В результате получим соотношение вида
Это соотношение ещё раз продифференцируем по
и заменим появившиеся в правой части производные по
от функций
соответственно на
согласно (79). Получим
Продолжив процесс, остановимся на соотношении
Таким образом, будем иметь
соотношений
(80)
Следовательно, от исходной системы (79) перешли к системе (80), которая уже не содержит Поэтому из системы (80) можно, вообще говоря, исключить величины
Предположим, что система первых
соотношений (80) разрешима относительно величин
и из них
выразим через
и получим следующие выражения:
(81)
Подставим их в последнее уравнение (80), в результате будем иметь Найдем решение этого уравнения:
(82)
где ‑ произвольные постоянные. Для нахождения остальных искомых функций
уже нет необходимости решать дифференциальное уравнение. Эти функции мы найдём, подставив в (81) найденные для
выражения, а также выражения для производных первого, второго,...,
-го порядков, предварительно вычислив эти производные от найденной функции (82):
(83)
Формулы (82), (83) дают общее решение системы (79).
Пример. Возьмём систему дифференциальных уравнений
(84)
От этой системы перейдём к другой, которая не будет содержать С этой целью первое уравнение в (84) продифференцируем по
:
В правую часть подставим вместо
выражения, стоящие в правых частях системы (84), которым равны эти производные:
Отсюда получим
Это соотношение возьмём вместе с первым соотношением (84), будем иметь
(85)
Итак, от системы (84) перешли к системе (85), причём последняя не содержит поэтому из неё можно исключить
С этой целью из первого уравнения (85) выразим
(86)
Это выражение подставим во второе уравнение (85): Получили дифференциальное уравнение для нахождения
Это есть линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Его решением будет функция
Чтобы найти
, найдём производную от
эту производную и саму функцию
подставим в правую часть формулы (86) и будем иметь
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 177 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!