Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Дано дифференциальное уравнение второго порядка , где – искомая функция. Рассмотрим частные случаи этого уравнения, когда его решение сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка.

1. Пусть уравнение имеет вид т. е. не содержит явно и Заметив, что запишем уравнение в виде Отсюда видно, что есть первообразная для поэтому следовательно,

где – произвольные постоянные. Это есть общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения.

2. Пусть теперь дифференциальное уравнение имеет вид т. е. не содержит явно Положим считая функцией от , и будем искать эту последнюю функцию. Поскольку то исходное уравнение примет вид представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции Решив последнее уравнение, найдём и, следовательно, Отсюда найдем общее решение исходного уравнения

Пример 1. Решить уравнение

Положим тогда Исходное уравнение примет вид т. е. или, после умножения на Проинтегрировав, получим Заменим произвольную постоянную на и найдем Следовательно, Окончательно имеем т. е. Здесь мы считали, что При получим поэтому

3. Пусть теперь дифференциальное уравнение имеет вид т. е. не содержит явно Здесь положим считая функцией от подлежащей определению. Так как аргумент у последней функции есть искомая функция от то из соотношения получаем поэтому Теперь исходное уравнение запишется так: Мы пришли к дифференциальному уравнению первого порядка с искомой функцией Решив его, найдём и получим соотношение или представляющее собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общий интеграл имеет вид и является общим интегралом исходного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Положим тогда Исходное уравнение примет вид Пусть тогда и приходим к решению Если то или Отсюда Проинтегрируем последнее равенство: следовательно, Теперь пришли к уравнению Разделив переменные и проинтегрировав, получим общий интеграл