Линейные неоднородные уравнения -го порядка

Названные уравнения имеют вид

(69)

где ‑ заданные непрерывные функции от в интервале, в котором ищется решение. Как всегда ‑ искомая функция. Запишем соответствующее однородное уравнение

. (70)

Как известно (см. теорему 3’ §10), общее решение этого уравнения

(71)

где ‑ произвольные постоянные, а ‑ частные решения однородного уравнения (70), образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале. Это означает, что всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского для этих частных решений:

(72)

Для неоднородного уравнения (69) справедлива теорема о структуре его общего решения, аналогичная теореме предыдущего параграфа.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (69) представляется в виде суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (70), т. е. или, с учётом (71),

Теорема доказывается так же, как в случае уравнения второго порядка.

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (69) применим метод вариации произвольных постоянных, предположив, что указанные выше частные решения однородного уравнения (70) известны, а имеет тот же вид, что в формуле (71), только теперь в отличие от предыдущего случая считаются не постоянными, а искомыми функциями от Итак, ищем в виде

(73)

где ‑ новые искомые функции. Для определения их производных получим систему уравнений

(74)

Выполнения первых соотношений в (74) потребуем сами, а последнее соотношение в (74) получили, исходя из требования, чтобы функция (73) была решением неоднородного уравнения (69). Соотношение (74) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных Определитель этой системы есть определитель Вронского (72) и отличен от нуля в рассматриваемом интервале, поэтому система (74) имеет единственное решение. Решив её, найдём Проинтегрировав эти равенства, получим

причём постоянные интегрирования всюду можно взять равными нулю. Подставив найденные функции в формулу (73), получим искомое частное решение