Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

(32)

в котором – действительные числа. Согласно теореме 3 параграфа 10 общее решение уравнения (32) определяется формулой где – произвольные постоянные; – частные решения уравнения (32), образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале. Таким образом, задача сводится к нахождению этих двух функций. Будем искать их в виде

(33)

где – постоянная величина. Подберем эту величину так, чтобы функция (33) была решением уравнения (32). Возьмём производные от функции (33): Потребуем, чтобы функция (33) была решением уравнения (32). Подставим эту функцию в (32) и потребуем, чтобы оно выполнилось, т. е. чтобы имели место равенства или

(34)

Но всюду на действительной оси, поэтому на эту величину уравнение (34) можно сократить, и мы получим

(35)

Если есть корень квадратного уравнения (35), то имеет место соотношение (34). Поэтому функция (33) удовлетворяет уравнению (32), т. е. является его решением. Таким образом, нахождение решения вида (33) уравнения (32) сводится к отысканию корней квадратного уравнения (35). Это уравнение называется характеристическим уравнением по отношению к дифференциальному уравнению (32).

Найдём корни характеристического уравнения (35):

(36)

Далее будем различать три случая.

Случай 1. Корни (36) характеристического уравнения (35) действительные и различные, т. е. Эти корни подставим вместо в функцию (33) и получим два частных решения уравнения (32):

(37)

Запишем определитель Вронского для этих найденных частных решений:

Этот определитель для любого из интервала не равен нулю, так как

Итак, частные решения , определенные в (37) для уравнения (32), образуют фундаментальную систему всюду в интервале поэтому в этом интервале общее решение уравнения (32) будет иметь вид

(38)

Пример 1. Решить уравнение

Этому уравнению отвечает характеристическое уравнение корни которого По формуле (38) записываем общее решение рассматриваемого уравнения

Случай 2. Корни характеристического уравнения (35) действительны и равны

В этом случае в формулах (36) для корней характеристического уравнения обязательно так как в противном случае корни и не будут равны. При этом из первой формулы (36) видно, что следовательно,

(39)

Кроме того, учтём, что – это корень уравнения (35), т. е. удовлетворяет уравнению (35):

(40)

Подставив найденный корень вместо в формулу (33), найдём частное решение уравнения (32). Для построения общего решения исходного уравнения (32) нужно знать ещё одно частное решение. Это второе частное решение будем искать в виде произведения первого найденного частного решения и функции которую нужно подобрать так, чтобы функция была решением уравнении (32) и вместе с функцией образовала фундаментальную систему.

Потребуем, чтобы функция была решением дифференциального уравнения (32), т. е. чтобы выполнилось соотношение

Это соотношение разделим на и запишем его так:

В левой части суммы в скобках, согласно формулам (39), (40), обращаются в нуль, следовательно, Отсюда Далее, где ‑ постоянная величина. Получим Таким образом, Положим тогда Нетрудно показать, что при этом функции и образуют фундаментальную систему всюду в интервале т. е. определитель Вронского для них отличен от нуля всюду в этом интервале. Общее решение уравнения (32) будет иметь вид

(41)

Пример 2. Решить уравнение

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Корни этого уравнения равны По формуле (41) находим общее решение рассматриваемого уравнения

Случай 3. Корни характеристического уравнения (35) – комплексные числа. Это означает, что Обозначим Тогда Подставив найденные корни вместо в (33), получим два частных решения уравнения (32): Использовав формулу (9) главы 10 запишем эти решения так:

(42)

Мы нашли два частных решения уравнения (32), но они являются комплексными функциями действительного аргумента, поэтому не подходят, так как мы ищем действительные функции. В связи с этим докажем следующее утверждение.

Теорема. Если комплексная функция действительного аргумента ( ‑ действительные функции) является решением уравнения (32), то действительная и мнимая части также являются решениями этого уравнения

Доказательство. Функция является решением уравнения (32), т. е. выполняется соотношение

Учитывая, что и собрав отдельно члены, содержащие и отдельно члены, содержащие получим Но если комплексная величина равна нулю, то равны нулю отдельно её мнимая и действительная части, поэтому и Эти соотношения означают, что и являются решениями (32). Теорема доказана.

По доказанной теореме действительная и мнимая части функций (42) – частного решения уравнения (32) – являются решениями этого уравнения. Итак, являются частными решениями уравнения (32). Легко проверить, что определитель Вронского для этих решений отличен от нуля для всех из интервала т. е. во всём этом интервале эти решения образуют фундаментальную систему. Общее решение уравнения (32) имеет вид

(43)

Пример 3. Решить уравнение

Ему отвечает характеристическое уравнение Корни этого характеристического уравнения равны т. е. Формула (43) даёт