Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Линейное неоднородное уравнение второго порядка имеет вид

(48)

Здесь ‑ заданные непрерывные функции, а – искомая функция. Запишем соответствующее однородное уравнение

(49)

Как известно (см. теорему 3 §10), общее решение этого уравнения определяется формулой

(50)

где – произвольные постоянные, а – частные решения однородного уравнения, образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале изменения в котором ищется решение. Это означает, что в указанном интервале для этих частных решений всюду отличен от нуля определитель Вронского:

(51)

Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (48) представляется в виде суммы какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (49), т. е.

(52)

или, согласно (50),

(53)

Доказательство. Согласно определению общего решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо установить два факта.

1. Сумма удовлетворяет уравнению (48) при любых значениях входящих в нее постоянных

2. Для любых начальных условий

(54)

в формуле (53) можно подобрать такие значения постоянных при которых функция (53) будет удовлетворять этим начальным условиям.

Докажем первый факт. Подставим указанную сумму в (48) (вместо ) и получим Теперь учтём, что производная от суммы равна сумме производных, и в левой части соберём отдельно слагаемые, содержащие и отдельно слагаемые, содержащие Получим

Но – общее решение уравнения (49), поэтому вторая сумма в скобках в левой части последнего соотношения обращается в нуль. Далее, есть решение неоднородного уравнения (48), поэтому первая сумма в скобках в левой части последнего выражения равна Таким образом, получили тождество. Это означает, что сумма (52) удовлетворяет уравнению (48), т. е. является его решением.

Докажем теперь второй факт. В начальных условиях (54), как всегда, ‑ заданные числа. Кроме того, мы должны считать, что лежит в интервале, в котором определитель Вронского не равен нулю, так как используем формулу (53), в которой для считается выполненным условие (51). Это означает, что

(55)

Найдём производную выражения (53) и потребуем, чтобы функция (53) и её производная удовлетворяли начальным условиям (54), т. е. чтобы выполнились соотношения

(56)

Мы считаем, что в формуле (53) частные решения и уравнения (49) нам известны. Значит, их значения, а также значения производной в точке суть известные числа, поэтому в (56) все величины кроме известны. Таким образом, соотношение (48) представляет собой систему двух линейных алгебраических уравнений, которые запишем так:

(57)

Определитель этой системы есть определитель Вронского (55), и он отличен от нуля, поэтому система (57) имеет единственное решение. Решив ее, найдём значения постоянных Подставив эти значения в (53), получим решения, по построению удовлетворяющие начальным условиям (54). Теорема доказана.