С постоянными коэффициентами. Так называются уравнения вида

Так называются уравнения вида

(75)

где ‑ заданные действительные числа, а ‑ заданная непрерывная функция. Запишем соответствующее однородное уравнение

(76)

решение которого, как известно (см. §12), сводится к нахождению корней соответствующего характеристического уравнения

(77)

Мы знаем, что общее решение однородного уравнения (76) определяется формулой

(78)

где ‑ произвольные постоянные, а ‑ частные решения уравнения (76), образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале. Для уравнения (76) с постоянными коэффициентами эти частных решений можно записать сразу, если известны корни характеристического уравнения (77). Мы знаем также, что общее решение неоднородного уравнения (75) определяется как сумма общего решения однородного уравнения (76) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения (75). Для нахождения частного решения можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных. Но этот метод в случае больших значений обычно приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в тех случаях уравнения (75), когда правая часть имеет специальный вид, оказывается проще воспользоваться другим методом нахождения , а именно, методом неопределённых коэффициентов, который описан ниже.

Рассмотрим два случая специального вида правой части неоднородного уравнения (75).

Случай 1. Пусть где ‑ заданное действительное число, ‑ известный многочлен степени коэффициенты которого заданы. Здесь в свою очередь возможны два случая:

• число не является корнем характеристического уравнения (77); тогда частное решение неоднородного уравнения (75) ищем в том же виде что и правая часть уравнения (76); здесь – многочлен степени с неопределёнными коэффициентами, ‑ коэффициенты многочлена, подлежащие определению;
• есть корень кратности характеристического уравнения (77), в этом случае ищем в виде где ‑ указанный выше многочлен с неопределёнными коэффициентами.

Для нахождения неопределённых коэффициентов , потребуем, чтобы указанного вида было решением неоднородного уравнения (75). Эту функцию и её производные первого, второго, …, -го порядков подставим в (75) и потребуем, чтобы уравнение при этом стало тождеством. Все слагаемые в левой части полученного при этом соотношения содержат множитель на который полученное соотношение сократим. Тогда в левой части получим сумму, содержащую различные степени Приведя подобные члены, т. е. собрав члены с одинаковым степенями эту сумму расположим по степеням и в левой части получим многочлен. Его коэффициенты будут содержать искомые числа . Этот многочлен тождественно равен ‑ многочлену, стоящему в правой части полученного соотношения. Так как это соотношение должно выполняться при всех т. е. тождественно, то коэффициенты многочленов, стоящих слева и справа при одинаковых степенях , должны быть равны. Приравняв эти коэффициенты, получим уравнения для определения неизвестных Этих уравнений будет столько же, сколько имеется неизвестных.

Случай 2. Правая часть имеет вид где ‑ заданные действительные числа, а ‑ многочлены соответственно степеней и с заданными коэффициентами. Здесь также будем различать два подслучая.

• число не является корнем характеристического уравнения (77); частное решение неоднородного уравнения (75) ищем в виде здесь ‑ многочлены степени с неопределёнными коэффициентами, ‑ наибольшее из чисел и Таким образом, всего неопределённых коэффициентов будет
• число является корнем характеристического уравнения (77) кратности в этом случае ищем в виде где означают то же, что и раньше.

Для нахождения неопределённых коэффициентов, потребуем, чтобы записанное для выражение было решением уравнения (75). Найдём производные от Эти производные и подставим в уравнение (75). Полученное соотношение сократим на В левой части выражение при расположим по степеням в виде многочлена, коэффициенты которого содержат искомые коэффициенты. Этот многочлен должен тождественно быть равен Аналогично многочлен, получаемый в левой части при , должен тождественно быть равен Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих при слева и справа и при слева и справа, получим уравнения для нахождения неизвестных неопределённых коэффициентов. Из них найдём искомые коэффициенты и тем самым искомое решение

Сказанное выше остаётся в силе и в том случае, когда правая часть не содержит или т. е. или

Пример. Решить уравнение

Этому уравнению отвечает однородное уравнение которому в свою очередь соответствует характеристическое уравнение Корнями последнего будут Таким образом, общее решение однородного уравнения

Правая часть рассматриваемого уравнения имеет вид но не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде а именно, Имеем Подставим функцию и её производные в исходное уравнение и получим Коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях должны быть равны, поэтому Подставим эти значения в выражение и получим частное решение . Общее решение уравнения