Порядков и свойства их решений

Линейным уравнением -го порядка называется уравнение вида

(22)

где – искомая функция, а – заданные функции от которые будем считать непрерывными в интервале, в котором рассматривается уравнение; называются коэффициентами уравнения (22); называется правой частью уравнения. Будем считать, что коэффициент при старшей производной нигде в рассматриваемом интервале в нуль не обращается. Поэтому уравнение (22) можно почленно поделить на , и после этого коэффициент при будет равен 1. В связи с этим впредь всегда будем считать, что всюду в рассматриваемом интервале.

Если правая часть тождественно не равна нулю в рассматриваемом интервале, то уравнение (22) называется неоднородным уравнением или уравнением с правой частью.

Если всюду в рассматриваемом интервале правая часть тождественно равна нулю, то уравнение (22) называется однородным и имеет вид

(23)

Говорят, что частные решения уравнения (23) образуют фундаментальную систему в некотором интервале, если всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского (вронскиан), обозначаемый и равный

Линейные однородные уравнения второго порядка согласно (22) имеют вид

(24)

Здесь – заданные непрерывные функции от и – искомая функция.

Теорема 1. Если – решения уравнения (24), то сумма этих решений также является решением этого уравнения.

Доказательство. Дано, что – решения линейного однородного уравнения (24). Следовательно, при их подстановке в уравнение (24) получаем тождества, т. е.

(25)

(26)

Подставим сумму в уравнение (24) и получим

В левой части учтём, что производная суммы равна сумме производных. Кроме того, соберём по отдельности члены, содержащие и Получим Но в левой части суммы в скобках обращаются в нуль согласно (25) и (26), т. е. получаем тождество. Это означает, что сумма удовлетворяет уравнению (24), следовательно, является его решением. Теорема доказана.

Теорема 2. Если – решение уравнения (24) и – некоторая константа, то произведение тоже является решением этого уравнения.

Теорема доказывается аналогично предыдущей, т. е. подстановкой в уравнение (24).

Пусть даны функции Для этих функций вронскиан принимает вид

Соответственно, частные решения уравнения (24) образуютфундаментальную систему в некотором интервале изменения если всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского для этих решений.

Теорема 3. Если и суть частные решения уравнения (24), образующие фундаментальную систему в некотором интервале изменения то в этом интервале общее решение уравнения (24) определяется формулой

(27)

где – произвольные постоянные.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, надо установить (согласно определению общего решения) два факта:

· показать, что функция (27) при любых значениях удовлетворяет уравнению (24);

· установить, что для любых начальных условий

(28)

можно подобрать такие значения постоянных , при которых функция (27) будет удовлетворять этим начальным условиям. Здесь – заданные числа. Будем считать, что лежит в интервале, в котором определитель Вронского не равен нулю, т. е.

(29)

Так как является решением уравнения (24), то произведение , согласно теореме 2, также является решением этого уравнения. Аналогично, произведение является решением уравнения (24). Но тогда по теореме 1 их сумма также является решением уравнения (24). Итак, функция (27) всегда является решением уравнения (24).

Возьмем теперь производную функции (27) и потребуем, чтобы эта производная и функция (27) удовлетворяли начальным условиям (28), т. е. чтобы выполнялись соотношения

(30)

Мы считаем, что и – известные частные решения, поэтому – известные числа. Таким образом, в соотношениях (30) все величины, кроме и суть известные числа, поэтому (30) представляет собой систему двух линейных алгебраических уравнений с неизвестными и Определитель этой системы есть определитель Вронского (29), вычисленный в точке , и он не равен нулю. Следовательно, система (30) имеет единственное решение.

Решив эту систему, найдём значения постоянных Подставив эти найденные значения в формулу (27), определим решение, которое по построению удовлетворяет начальным условиям (28). Теорема доказана.

Для уравнения (23) справедливы теоремы 1 и 2, сформулированные и доказанные выше для случая уравнений второго порядка. Для случая линейных однородных уравнений -го порядка эти теоремы формулируются и доказываются аналогично.

Теорема 3' (аналог теоремы 3). Если ... суть частные решения уравнения (23), образующие фундаментальную систему в некотором интервале, то в этом интервале общее решение уравнения (23) определяется формулой

(31)

где – произвольные постоянные.

Теорема доказывается аналогично теореме 3. Предлагаем провести доказательство самостоятельно.