Линейное однородное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

(44)

где ‑ заданные действительные числа, называется линейным однородным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения определяется формулой (31): , где – произвольные постоянные, а – частные решения уравнения (44), образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале, т. е. в этом интервале всюду отличен от нуля определитель Вронского для этих частных решений уравнения (44). Как и в случае уравнения второго порядка (32), эти частные решения будем искать в виде где ‑ постоянная, которую нужно подобрать так, чтобы функция (33) была решением уравнения (44). Подставив эту функцию в уравнение (44), как и в случае уравнения второго порядка (32), для нахождения величины получим характеристическое уравнение для уравнения (44):

(45)

Это алгебраическое уравнение -й степени для нахождения Из алгебры известно, что такое уравнение имеет решений (корней). Эти корни будут действительными (простыми или кратными) или комплексными (простыми или кратными). Если комплексное число является корнем, то сопряжённое число тоже является корнем, так как уравнение (45) имеет действительные коэффициенты. Иначе говоря, комплексные корни обязательно входят парами (как и в случае квадратного уравнения).

Каждому простому действительному корню характеристического уравнения (45) отвечает одно решение уравнения (44).

Каждому действительному корню кратности уравнения (45) – характеристического уравнения – отвечают решений уравнения (44) вида

Каждой простой паре комплексно сопряжённых корней и характеристического уравнения (45) отвечает одна пара частных решений уравнения (44)

Каждой паре комплексно сопряжённых корней кратности и характеристического уравнения (45) отвечают пар решений уравнения (44)

Всего частных решений уравнения (44) будет ровно Можно показать, что эти частных решений образуют фундаментальную систему всюду в интервале Это принимается без доказательства.

Общее решение уравнения (44) определяется формулой (31), в которой вместо нужно подставить указанные частные решения.

Пример. Дано уравнение пятого порядка с постоянными коэффициентами

(46)

Его характеристическое уравнение Это уравнение запишем так: или

(47)

Находим корни: (это простой действительный корень, он отвечает первому множителю левой части уравнения (47)) и Корни ‑ пара комплексно сопряжённых корней второй кратности. Их получили, приравняв к нулю второй сомножитель левой части уравнения (47). Он имеют вторую кратность, так как стоит во второй степени, т. е. пара корней повторяется дважды. Первому корню отвечает одно частное решение Паре корней отвечают две пары частных решений уравнения (46): Общее решение уравнения (46) согласно (31) запишется так: