Дифференциальные уравнения высших порядков. Как мы знаем, дифференциальное уравнение высшего порядка имеет вид Будем считать, что это уравнение разрешимо относительно производной и получим уравнение

Как мы знаем, дифференциальное уравнение высшего порядка имеет вид Будем считать, что это уравнение разрешимо относительно производной и получим уравнение вида

(19)

Здесь – известное выражение, содержащее а есть искомая функция. Для последнего уравнения без доказательства запишем теорему существования и единственности его решения.

Теорема. Если в уравнении (19) функция и её частные производные по переменным непрерывны в некоторой области -мерного пространства, причём эта область содержит точку с координатами

...,

то в достаточно малом интервале существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям:

..., (20)

где суть заданные числа.

Условия (20) называют начальными условиями для решения уравнения (19). Задача об отыскании решения уравнения (19), удовлетворяющего начальным условиям (20), называется задачей Коши. Например, для дифференциального уравнения второго порядка начальные условия (20) имеют вид

(21)

Пусть есть решение уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям (21). Если решение уравнения удовлетворяет первому начальному условию (21), то (как и для уравнения первого порядка) это означает, что график функции проходит через точку Вспомним, что вычисленная в точке производная равна тангенсу угла , образованного с осью касательной к линии в её точке с абсциссой Если для этого решения выполняется второе начальное условие (21), то Это означает, что указанная касательная образует с осью угол тангенс которого есть заданное число.

Таким образом, если решение уравнения второго порядка удовлетворяет начальным условиям (21), то это означает, что график этого решения проходит через точку , и в этой точке касательная к графику образует заданный угол причём .

Из теоремы вытекает, что дифференциальное уравнение (19) имеет бесчисленное множество решений, так как в начальных условиях (20) числа, стоящие в правой части, можно изменять и тем самым получать различные решения. В связи с этим приведем ряд определений.

Общим решением уравнения (19 ) называется функция содержащая произвольных постоянных если:

• эта функция при любых значениях постоянных удовлетворяет уравнению (19);
• для любых начальных условий (20) можно подобрать такие значения постоянных при которых указанная функция удовлетворяет этим начальным условиям.

Если общее решение уравнения (19) находится в неявном виде, т. е. в виде соотношения то это соотношение называется общим интегралом уравнения (19).

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных , называется частным решением уравнения (19).

График частного решения уравнения (19) называется интегральной кривой этого уравнения.