![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида
(15)
где – искомая функция, а
и
– заданные функции от
которые считаем непрерывными в рассматриваемом интервале изменения
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций
и
. При этом ясно, что одну («лишнюю») из введенных функций мы можем выбрать по нашему усмотрению, а вторую должны подобрать так, чтобы произведение
было решением исходного уравнения (15).
Найдём производную . Подставим ее и выражение
в уравнение (15) и потребуем, чтобы оно выполнилось. Получим
или
(16)
Выберем функцию так, чтобы сумма в скобках левой части последней формулы обратилась в нуль:
или
После умножения на
получим для нахождения функции
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Решив его, получим общий интеграл уравнения
где
– произвольная постоянная. Воспользовавшись произволом в выборе функции
возьмём постоянную
и получим
Если бы мы сохранили
в наших формулах, а не взяли
то, как легко проверить, это бы не повлияло на конечный результат. Окончательно имеем
или
Отсюда легко получить искомую функцию
(17)
Вернёмся к соотношению (16). Подставим в него вместо найдённую функцию
из формулы (17). Тогда сумма в скобках левой части формулы (16) обращается в нуль, и получаем соотношение
Найдём из последнего соотношения производную
и после интегрирования получим
Подставим эту функцию и функцию (17) в формулу
(18)
Получили решение уравнения (15).
Пример. Решить уравнение
Предлагаем решить это уравнение самостоятельно, повторив предыдущие выкладки, в которых
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 158 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!