Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида

(15)

где – искомая функция, а и – заданные функции от которые считаем непрерывными в рассматриваемом интервале изменения

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций и . При этом ясно, что одну («лишнюю») из введенных функций мы можем выбрать по нашему усмотрению, а вторую должны подобрать так, чтобы произведение было решением исходного уравнения (15).

Найдём производную . Подставим ее и выражение в уравнение (15) и потребуем, чтобы оно выполнилось. Получим или

(16)

Выберем функцию так, чтобы сумма в скобках левой части последней формулы обратилась в нуль: или После умножения на получим для нахождения функции дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Решив его, получим общий интеграл уравнения где – произвольная постоянная. Воспользовавшись произволом в выборе функции возьмём постоянную и получим Если бы мы сохранили в наших формулах, а не взяли то, как легко проверить, это бы не повлияло на конечный результат. Окончательно имеем или Отсюда легко получить искомую функцию

(17)

Вернёмся к соотношению (16). Подставим в него вместо найдённую функцию из формулы (17). Тогда сумма в скобках левой части формулы (16) обращается в нуль, и получаем соотношение Найдём из последнего соотношения производную и после интегрирования получим

Подставим эту функцию и функцию (17) в формулу

(18)

Получили решение уравнения (15).

Пример. Решить уравнение

Предлагаем решить это уравнение самостоятельно, повторив предыдущие выкладки, в которых