Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородными называются дифференциальные уравнения первого порядка с искомой функцией в которых правую часть можно представить в виде функции одного аргумента, равного отношению т. е. в виде функции Такое дифференциальное уравнение можно привести к виду

(14)

Будем считать, что здесь есть непрерывная функция аргумента, равного

Чтобы решить это уравнение, положим Так как есть искомая функция от ясно, что тоже есть искомая функция с аргументом Будем искать эту последнюю функцию. Для неё получим дифференциальное уравнение, использовав исходное уравнение (14).

Имеем Отсюда найдём производную Продифференцировав последнее соотношение по получим Это выражение и подставим в уравнение (14): Получили дифференциальное уравнение первого порядка для функции Запишем его иначе: , или, умножив на в виде Но это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными вида (13). Обе части уравнения умножим на , считая, что и получим Общий интеграл последнего уравнения имеет вид . Учитывая, что первый интеграл в левой части равен некоторой функции имеем Последнее выражение представляет собой общий интеграл дифференциального уравнения для искомой функции от Чтобы получить общий интеграл исходного уравнения (14), достаточно в последнем соотношении заменить на . В результате будем иметь

Здесь мы считали, что при уравнение (14) примет вид и является уравнением с разделяющимися переменными. Запишем его так:

после интегрирования обеих частей будем иметь

Отсюда Итак, либо либо

Пример. Возьмём уравнение Числитель и знаменатель правой части этого уравнения поделим на и получим Правая часть этого уравнения является функцией одного аргумента Таким образом, рассматриваемое уравнение есть однородное, поэтому оно решается вышеуказанным методом.

Положим Тогда и Теперь исходное уравнение приобретает вид или если Приведем к общему знаменателю правую часть и, умножив это уравнение на получим Разделив переменные, будем иметь Далее,

и

Так как получим общий интеграл рассматриваемого уравнения При получаем откуда и Это еще одно (частное) решение уравнения.