Приближённое решение дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка (7), для которого функция и её частная производная непрерывны в любой конечной части плоскости Требуется найти решение уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию в интервале где – заданные числа. Согласно теореме из §2, такое решение существует и единственно.

Выбрав по нашему усмотрению целое число разобьём интервал на частичных интервалов где задав точки деления Искомая интегральная кривая проходит через точку , угловой коэффициент касательной к ней в этой точке вычисляется по формуле поэтому уравнение касательной имеет вид На этой касательной возьмем точку у которой ордината равна Далее найдём число определяющее направление поля в точке Взяв это число в качестве углового коэффициента, запишем уравнение прямой, проходящей через точку :

(8)

Если число близко к то точка мало отличается от точки искомой интегральной кривой, и угловой коэффициент прямой (8) мало отличается от – углового коэффициента касательной к интегральной кривой в точке

На прямой (8) возьмем точку с абсциссой Её ордината равна Далее вычислим в точке значение – число, определяющее направление поля в ней, и т. д. Продолжив процесс, по формуле

найдём числа и определим точки , …, Соединив каждые две соседние точки прямолинейным отрезком, получим ломаную, которой приближенно можно заменить искомую интегральную кривую. Без доказательства отметим, что при когда длины всех частичных интервалов стремятся к нулю, вышеуказанная ломаная по форме стремится к искомой интегральной кривой.