Теорема : Основная теорема алгебры

Поле C алгебраически замкнуто, т.е., другими словами, каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие: Любой линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве, имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство: По основной теореме алгебры, оператор А имеет хотя бы одно собственное значение l, откуда и следует утверждение следствия.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №20 (II семестр)

Тема: Инвариантные подпространства. Операторный многочлен. Приведение матрицы оператора к треугольной форме.

Содержание:

Инвариантное подпространство.

Оператор А действует в комплексном линейном пространстве X.

Определение: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным по отношению к оператору А, если . Нулевое подпространство и все пространство X являются инвариантными относительно любого линейного оператора, действующего в X. Эти подпространства называются тривиальными инвариантными подпространствами.

Примеры:

1. Пусть , . Рассмотрим , L – инвариантно относительно этого оператора.

2. Пусть – ядро оператора, – образ этого оператора, , и – инвариантны относительно А. Эти подпространства ( и ) тривиальны тогда, и только тогда, когда оператор А либо невырожден, либо нулевой.

3. Для любого оператора , любое его собственное подпространство является инвариантным относительно этого оператора.

Так как в комплексном линейном пространстве любой оператор имеет хотя бы один собственный вектор, то каждый оператор в этом пространстве имеет хотя бы одно не тривиальное инвариантное подпространство.

Пусть , , , и пусть L – инвариантное подпространство. Выберем в L базис и дополним его до базиса X векторами . Построим матрицу оператора А в этом базисе:

Пусть линейное пространство представимо в виде прямой суммы и L, M – инвариантны относительно оператора А. В этом случае говорят, что X разложимо в прямую сумму своих инвариантных подпространств.

Выберем – базис L, – базис M. В этом случае матрица оператора имеет вид:

.

Определение: Пусть , L – инвариантно относительно А. Оператор , действующий на инвариантном подпространстве L называется индуцированным оператором, порожденным оператором А, если .

Так как имеет по крайней мере, один собственный вектор, и совпадает с оператором А на подпространстве L, то любой линейный оператор в каждом инвариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор.

Теорема 12: Характеристический многочлен индуцированного оператора, порожденного оператором А на нетривиальном подпространстве, является делителем характеристического многочлена порождающего оператора.

Доказательство: Рассмотрим базис линейного пространства X: , где – базис подпространства L. – матрица оператора А в этом базисе. – матрица индуцированного оператора .

– характеристический многочлен оператора А

– характеристический многочлен оператора .

Определение всех собственных значений оператора А сводится к нахождению всех корней характеристического многочлена этого оператора. Если оператор А имеет нетривиальное инвариантное подпространство, то по теореме 12 задача нахождения собственных значений оператора А сводится к нахождению корней двух многочленов: и , степеней меньших, чем степень характеристического уравнения оператора А.