Матричная интерпретация теоремы 15

Построим базис линейного пространства X следующим образом: – произвольный ненулевой вектор подпространства L (), – любой вектор из , ,...

Построим матрицу оператора в этом базисе:

Матрица называется правой треугольной матрицей.

Следствие: Любая квадратная матрица подобна правой треугольной матрице.

Доказательство: Пусть – произвольная квадрантная матрица вида . Если в пространстве X зафиксирован базис , то матрица является матрицей некоторого линейного оператора А, действующего из X в X. По доказанному выше, в линейном пространстве X существует базис , для которого матрицей оператора А является правая треугольная матрица . и – матрицы одного и того же оператора в разных базисах, которые, как известно, подобны.

Лемма: Если оператор А в некотором базисе имеет треугольную матрицу , то диагональные элементы матрицы совпадают с собственными значениями оператора А с учетом их кратности.

Доказательство: