Группа невырожденных операторов

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора. В противном случае оператор называется вырожденным.

Примеры:

1. Тождественный оператор является невырожденным.

2. Скалярный оператор при является невырожденным оператором.

3. Произвольный линейный оператор раскладывает . Оператор А порождает новый оператор, . Оператор определяется по такому правилу: на своей области определения он совпадает с оператором А. ( – сужение А на ). – невырожденный оператор.

Для невырожденных операторов дефект равен 0, а так как:

, следовательно, для невырожденных линейных операторов, действующих из X в X, ранг совпадает с размерностью всего пространства X. Если оператор является невырожденным, следовательно, , т.е. любой вектор линейного пространства X является образом некоторого вектора из этого же пространства, т.е. невырожденный оператор всегда является сюръективным отображением.

Важным свойством невырожденного оператора является единственность прообраза для любого вектора . В самом деле, если , то , .

Таким образом, множество невырожденных операторов, принадлежащих – множество изоморфизмов, действующих из X в X.

Рассмотрим , пусть – множество всех невырожденных операторов.

Теорема 5: Множество W является группой по умножению.

Доказательство: Проверим справедливость аксиом группы.

1. Замкнутость. Нужно показать, что произведение двух невырожденных операторов есть невырожденный оператор.

Пусть . Рассмотрим .

2. Ассоциативность уже доказана для любых линейных операторов.

3. Существование нейтрального элемента. Тождественный оператор Е, выполняющий роль единицы относительно операции умножения операторов, очевидно, невырожден.

4. Существование обратного. Пусть , , тогда положим, что . Так как оператор А – изоморфизм, то А – биективное отображение X на X, и, в частности, оно сюрьективно, следовательно, оператор – определен. Так как А – инъективен, то – также является отображением.

Докажем, что – линейный и невырожденный оператор.

Покажем сначала, что :

:

Покажем, что – линейный оператор.

Для

Так как А – невырожденный, то

.

Осталось показать, что – невырожденный.

Рассмотрим . , .

Пусть . Для любого целого положительного числа p можно говорить о степени: . Для любых целых положительных p и q: . По определению будем считать, что .

Пусть А – невырожденный оператор, тогда для любого целого положительного числа r, – тоже невырожденный оператор, а тогда для него существует обратный оператор:

По определению положим, что .

Рассмотрим произвольный невырожденный оператор А и множество . Произведение любых двух элементов из множества является элементом из этого же множества, т.е. это множество замкнуто относительно операции умножения операторов, выполняются все аксиомы группы и эта группа – абелева. Все элементы этой группы являются степенями фиксированного элемента А, поэтому – циклическая группа, порожденная оператором А.