Матрица оператора

Теорема 6: Пусть X, Y – два линейных пространства над полем Р, , . Пусть далее (1) – базис X, и базисным векторам каким-то образом поставлены в соответствие векторы (2) – из Y. Тогда .

Доказательство: Предположим, что искомый оператор А существует, пусть , тогда единственным образом разложим по базису:

(1)

(2)

Правая часть равенства (2) однозначно определяется вектором и образами базисных векторов. Определим искомый оператор так: пусть дано (1). Положим равное (2). Очевидно, что .

Пусть в линейном пространстве X задан базис , а в Y – , а также задан линейный оператор .

Подействуем оператором А на базисные векторы и найдем разложение образов этих базисных векторов в виде линейной комбинации базисных векторов пространства Y,т.е.

Матрица называется матрицей линейного оператора А в выбранных базисах линейных пространств X и Y.

Пусть вектор , а вектор . Тогда эти векторы можно разложить по соответствующим базисам: , (1).

Сравнивая правую часть этого равенства с разложением (1), получим:

.

(2), (2')

Формулы (2) дают возможность по известным координатам вектора и матрице оператора вычислить координаты вектора , а также обратно, зная координаты вектора и матрицу оператора , решив систему линейных уравнений (2), можно найти координаты вектора . Соотношение (2) устанавливает связь между линейными операторами и системами линейных алгебраических уравнений, в частности, ранг матрицы оператора совпадает с рангом оператора, а размерность ядра совпадает с числом фундаментальных решений приведенной однородной системы уравнений, соответствующей системе (2).

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №15 (II семестр)

Тема: Матрица преобразования координат и её невырожденность. Связь между матрицами одного и того же оператора в разных базисах.

Содержание:

Теорема 7: Пусть . Между всеми линейными операторами и всеми прямоугольными матрицами вида существует биективное соответствие.

Доказательство: Уже показано, что каждый оператор А из множества при фиксированных базисах в линейных пространствах X и Y определяет некоторую матрицу .

Осталось показать, что каждой матрице вида соответствует линейный оператор, и притом только один. Возьмем произвольную матрицу вида . При фиксированных базисах соотношения (2) или (2') ставят в соответствие каждому вектору некоторый вектор . Легко понять, что это соответствие является линейным оператором.

, .

Рассмотрим векторы:

Таким образом, мы показали, что так введенное отображение является линейным оператором, действующим из X в Y. Найдем матрицу этого оператора:

....................................................................

Мы видим, что матрица этого оператора совпадает с матрицей . Т.е., любая матрица вида является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из X в Y.

Ясно, что если операторы А и В различны, то различны и соответствующие матрицы.