Операторный многочлен

Пусть линейный оператор А действует в комплексном линейном пространстве X и пусть (1) – произвольный многочлен над полем комплексных чисел. Рассмотрим линейный оператор:

(2) – этот оператор тоже действует в X.

Определение: Оператор (2) называется операторным многочленом от оператора А.

Пусть Р – произвольное поле. Рассмотрим множество всевозможных многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля Р. Как известно, в можно определить операцию сложения , умножения и относительно этих операций множество будет являться коммутативным кольцом с единицей.

Пусть – поле комплексных чисел. Тогда – множество всех многочленов от одной переменной с комплексными коэффициентами. Зафиксируем некоторый оператор и каждому многочлену поставим в соответствие операторный многочлен . Мы получим множество всех операторных многочленов, соответствующих оператору А и это множество также является коммутативным кольцом с единицей.

В этом кольце в частности выполняется равенство:

Лемма 1: Пусть линейный оператор А действует из X в X, – некоторый многочлен с комплексными коэффициентами, – операторный многочлен и пусть – область значений операторного многочлена .

Область значений является подпространством линейного пространства X, инвариантным относительно оператора А.

Доказательство: Пусть вектор , это означает, что существует вектор , такой, что , проверим, будет ли .

Лемма 2: Пусть линейный оператор А действует из X в X, – некоторый многочлен с комплексными коэффициентами, – операторный многочлен и пусть – ядро операторного многочлена является подпространством линейного пространства X, инвариантного относительно оператора А.

Доказательство:

Лемма 3: Пусть линейный оператор , – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А является корнем многочлена , то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению, принадлежат ядру операторного многочлена .

Доказательство:

,

тогда

Лемма 4: Пусть линейный оператор , – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А не является корнем многочлена , то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению, принадлежат образу операторного многочлена .

Доказательство:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №21 (II семестр)

Тема: Прямая сумма оператора и её свойства. Теорема о разложении оператора в прямую сумму с помощью операторного многочлена.

Содержание:

Теорема: Пусть линейный оператор , L – произвольное подпространство линейного пространства X, инвариантное относительно оператора А. Если все собственные значения оператора, индуцированного оператором А на подпространство L являются корнями многочлена , то подпространство L содержится в ядре операторного многочлена для всех достаточно больших k.

Доказательство:

1. Пусть – область значений оператора, индуцированного на подпространство L операторным многочленом , т.е. . Оператор вырожден на подпространстве L, т.к. если – собственный вектор оператора А, принадлежащий L, т.е. , то, по условию, , а тогда, по лемме 3 . Т.о., существуют ненулевые векторы , принадлежащие ядру оператора , а тогда содержится в L, потому что инвариантно относительно оператора А (по лемме 1), и .

2. является подпространством линейного пространства L, если это подпространство нулевое, то доказывать нечего, т.к. в этом случае , а тогда , k=1.

Пусть – ненулевое. Согласно лемме 1, (равное ) является инвариантным относительно оператора . По следствию из основной теоремы алгебры, оператор А, действующий из в имеет, по крайней мере, одно собственное значение , а так как характеристический многочлен индуцированного оператора , является делителем характеристического многочлена порождающего оператора , то , будучи собственным значением последнего, является корнем многочлена , т.е. , а тогда индуцированный оператор , действующий из в , вырожден (по лемме 3) и тогда и . Имеем последовательность:

, где ,

Продолжая рассуждение в том же духе, получим последовательность:

. Так как не может бесконечно уменьшатся с ростом k, то существует k такое, что – нулевое подпространство, а тогда , а тогда это и означает, что .

Теорема 14: Любой линейный оператор А, действующий в m- мерном комплексном пространстве X, имеет по крайней мере одно инвариантное подпространство размерности m-1.

Доказательство: Т.к. линейное пространство X рассматривается над полем комплексных чисел, то по основной теореме алгебры этот линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор . Пусть этот вектор соответствует собственному значению l, т.е. . Рассмотрим операторный многочлен , соответствующий многочлену . По лемме 1, область значений операторного многочлена , которую мы обозначили , является подпространством, инвариантным относительно оператора А. По лемме 3 оператор вырожден, следовательно .

Пусть L – произвольное подпространство линейного пространства X, имеющее размерность и содержащее в себе в качестве подпространства.

Покажем, что пространство L – искомое, т.е., что оно инвариантно относительно А. Рассмотрим произвольный вектор . (, но с другой стороны, , где L – инвариантно относительно А.